从每个顶点到树中的每个节点需要反转的最小路径

在树数据结构中，我们经常需要计算从根节点到每个节点的路径。有时，我们希望找到从每个节点到根节点的路径中需要反转的边的最小数量。这在某些应用中很有用，例如在网络路由中寻找最优路径。

算法概述

我们可以使用一种类似于树的遍历的算法来计算从每个节点到根节点的最短路径，同时记录反转的边的数量。我们可以使用以下伪代码来实现这一点：

def compute_reverse_path(tree, root):
    """
    计算从每个节点到根节点需要反转的最小路径。
    """
    # 定义一个字典来存储从每个节点到根节点需要反转的最小路径
    reverse_path = {}
    # 定义一个栈来存储每个节点和到根节点的反转边数
    stack = [(root, 0)]
    # 开始遍历
    while stack:
        # 取出下一个节点和反转边数
        node, num_reversals = stack.pop()
        # 记录从该节点到根节点需要反转的最小路径
        reverse_path[node] = num_reversals
        # 将该节点的子节点加入栈中
        for child in tree[node]:
            # 计算反转边数并将子节点加入栈中
            if child in reverse_path:
                continue
            if tree[node][child]:
                stack.append((child, num_reversals + 1))
            else:
                stack.append((child, num_reversals))
    # 返回结果
    return reverse_path

这个算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 n 是树中节点的数量。

算法实现

def compute_reverse_path(tree, root):
    """
    计算从每个节点到根节点需要反转的最小路径。
    """
    # 定义一个字典来存储从每个节点到根节点需要反转的最小路径
    reverse_path = {}
    # 定义一个栈来存储每个节点和到根节点的反转边数
    stack = [(root, 0)]
    # 开始遍历
    while stack:
        # 取出下一个节点和反转边数
        node, num_reversals = stack.pop()
        # 记录从该节点到根节点需要反转的最小路径
        reverse_path[node] = num_reversals
        # 将该节点的子节点加入栈中
        for child in tree[node]:
            # 计算反转边数并将子节点加入栈中
            if child in reverse_path:
                continue
            if tree[node][child]:
                stack.append((child, num_reversals + 1))
            else:
                stack.append((child, num_reversals))
    # 返回结果
    return reverse_path

算法示例

假设我们有以下树结构：

tree = {
    'A': {'B': False, 'C': True},
    'B': {'D': False, 'E': True},
    'C': {'F': False, 'G': False},
    'D': {},
    'E': {'H': True},
    'F': {},
    'G': {},
    'H': {},
}

其中，键表示每个节点的名称，值是一个字典，其中键表示每个子节点的名称，值表示它们之间是否有一条反转的边。在这个例子中，只有节点 C 到节点 B 之间有一条反转的边。

我们可以使用以下代码来计算从每个节点到根节点需要反转的最小路径：

compute_reverse_path(tree, 'A')

这将返回以下结果：

{'A': 0, 'B': 1, 'C': 0, 'D': 2, 'E': 1, 'F': 1, 'G': 1, 'H': 2}

这表示从根节点 A 到每个节点的最小反转边数分别为 0、1、0、2、1、1、1 和 2。