1 到 N 之间的最小长度路径，包括每个节点

在图论中，路径是指两个节点之间的连接，最短路径是指连接两个节点的路径中长度最短的那一个。在这个问题中，我们需要找到连接节点 1 到节点 N 的最短路径，并且包括这个路径上的所有节点。

解决方案

这个问题可以使用广度优先搜索（BFS）算法来解决。BFS 从起点开始向外层层扩展，直到找到目标节点。在这个问题中，我们可以从节点 1 开始进行 BFS，直到找到节点 N。与传统的 BFS 不同之处在于，我们需要记录每个节点所在的层级，以便后面输出路径。

具体步骤如下：

1. 创建一个队列，用于保存待扩展的节点。初始时，将起点 1 加入队列中。
2. 创建一个数组，用于保存节点是否已经被访问过。初始时，将节点 1 标记为已访问。
3. 创建一个字典，用于保存每个节点的层级。初始时，将节点 1 的层级设为 0。
4. 当队列不为空时，执行以下操作：
   1. 从队列中取出一个节点。
   2. 遍历该节点的所有未访问过的邻居节点，并将它们加入队列中。
   3. 对于每个邻居节点，记录它的层级，并将它标记为已访问。
   4. 如果邻居节点是目标节点 N，则停止 BFS。
5. 使用字典中记录的层级信息重建路径，并返回最小路径。

下面是使用 Python 语言实现的代码：

from collections import deque

def shortest_path(n):
    queue = deque([1])
    visited = [False] * (n + 1)
    visited[1] = True
    levels = {1: 0}
    parent = {}

    while queue:
        node = queue.popleft()
        if node == n:
            break
        for neighbor in [node - 1, node + 1, node * 2]:
            if 1 <= neighbor <= n and not visited[neighbor]:
                queue.append(neighbor)
                visited[neighbor] = True
                levels[neighbor] = levels[node] + 1
                parent[neighbor] = node

    path = [n]
    while path[-1] != 1:
        path.append(parent[path[-1]])
    path.reverse()

    return path

这个函数接受一个参数 n，表示节点的个数。它返回一个列表，包含从节点 1 到节点 N 的最小路径。例如，当 n = 10 时，函数返回的列表可能是 [1, 2, 4, 5, 10]。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用 BFS 算法求解从节点 1 到节点 N 的最短路径，并且返回包含路径上所有节点的列表。这个问题是图论中的经典问题，解决这个问题可以帮助我们更好地理解 BFS 算法的原理和实现。