并行加法器和并行减法器

并行加法器和并行减法器是计算机中常见的组件，它们能够在较短的时间内完成大量的加减运算。

并行加法器

并行加法器由多个全加器组成，可以同时计算多个二进制数的加法，从而实现高速加法运算。其中的全加器是一个三输入二输出的逻辑电路，用于实现两个二进制数以及进位之间的和。若$A_i$和$B_i$分别表示两个二进制数的第$i$位，$c_i$表示上一位的进位，则全加器的实现可表示为：

S_i = A_i ⊕ B_i ⊕ c_i
c_{i+1} = (A_i ∧ B_i) ∨ (A_i ∧ c_i) ∨ (B_i ∧ c_i)

其中，$S_i$表示本位的和，$c_{i+1}$为本位的进位，$\land$ 表示逻辑与运算，$\lor$ 表示逻辑或运算，$\oplus$ 表示异或运算。

多个全加器可以组成并行加法器，比如二进制加法器的实现如下图所示：

并行减法器

并行减法器中同样包含多个逻辑电路，主要由全加器和取反器组成。使用补码的方式进行减法时，需要将被减数取反加一，然后再与减数进行相加，这样可以避免减法操作的实现。通过多个全加器以及取反器，可以实现多个二进制数的快速减法。

并行减法器的实现方式类似于并行加法器，其中它可以表示为：

D_i = B_i ⊕ 小于号
B' = B ⊕ 1111…1111
S_i = A_i ⊕ D_i ⊕ c_i
c_{i+1} = (A_i ∧ D_i) ∨ (A_i ∧ c_i) ∨ (D_i ∧ c_i)

其中，小于号表示减法操作，$D_i$为进位位值，$B$为减数，$A$为被减数。其他符号的含义与并行加法器一致。

总结

并行加法器和并行减法器是计算机中常见的运算组件，能够大大提高二进制加减法的计算速度。它们由多个全加器和取反器组成，可以同时操作多个二进制数，从而实现高速加减法运算。在现代计算机中，这些组件已经被大量应用，不断优化和提升其性能是计算机领域的一大挑战。