中国剩余定理|集合2(基于逆模的实现)

中国剩余定理是一种数学方法，它可以在数论中用于解决同余方程组并简化解的计算。现在，我们将介绍一个基于逆模的实现方法。

前置知识

在介绍算法之前，我们先来看一些基础的数学概念。

• 模反元素

对于两个正整数a和m，若存在一个正整数x，满足ax ≡ 1 (mod m)，则称x为a在模m下的逆元素，也称为a关于模m的模反元素。

• 同余和同余方程组

如果两个整数a,b满足a-b能被n整除，那么就说a与b对于模n同余。如果给出多个同余方程，我们就称其为同余方程组。

算法思路

我们将同余方程组表示为x ≡ c1 (mod m1), x ≡ c2 (mod m2), ..., x ≡ cn (mod mn)的形式。目标是找出一个x，满足以上所有的模都可以整除。

我们用Mi表示除了mi之外的所有模的乘积，即:

Mi = m1*m2*...*mi-1*mi+1*...*mn

然后我们需要找到一个数ti，满足

ti*Mi ≡ 1 (mod mi)

我们已经在前置知识中提到过ti被称为mi的模反元素。（有时这个方程无解，这时候就说明无解了）

最后我们可以得到下面的公式：

x = c1*t1*M1 + c2*t2*M2 + ... + cn*tn*Mn (mod M)
其中，M = m1*m2*...*mn，Mi = M/mi

这个公式告诉我们如何通过mi,cid M和ti解决同余方程组。现在让我们写一份基于逆模的实现代码。

代码实现

def extended_gcd(a, b):
    if a == 0:
        return b, 0, 1
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b % a, a)
        return gcd, y - (b // a) * x, x

def inverse_mod(a, m):
    gcd, x, y = extended_gcd(a, m)
    if gcd != 1:
        raise ValueError('Multiplicative inverse does not exist')
    else:
        return x % m

def chinese_remainder_theorem(items):
    m = 1
    for a, _ in items:
        m *= a

    result = 0

    for a, b in items:
        Mi = m // a
        ti = inverse_mod(Mi, a)
        result += b * Mi * ti

    return result % m

这段代码中，我们首先定义了扩展欧几里得算法，用于求取模反元素。然后我们定义了逆模算法，用于解决ti的值。最后我们定义了中国剩余定理的代码实现，其中参数items前面已经介绍过，是同余方程组的数组。

为了更好地理解，我们使用markdown进行解释。