用中国余数定理组合模方程

什么是中国余数定理？

中国余数定理是一种将大型模方程组简化为小型模方程组的方法。假设我们需要找到一个数 x 满足以下两个条件：

x ≡ a1 (mod n1)
x ≡ a2 (mod n2)

其中 a1 和 a2 是给定的整数，n1 和 n2 是给定的不同的正整数。中国余数定理就是告诉我们，如果这些数 n1 到 nk 都是互质的话，就可以用一个通用解来表示 x：

x ≡ a1*M1*y1 + a2*M2*y2 + ... + ak * Mk * yk (mod N)

其中 Mk 是 n1 到 nk 中除了 nk 以外的所有数的乘积，N 是 n1 到 nk 的乘积，yk 是“逆元”的一种，它满足：

Mk * yk ≡ 1 (mod nk)

如果我们可以找到 yk，那么通用解就可以用来表示 x。因为所有 n1 到 nk 都是互质的，所以 N = n1 * n2 * ... * nk。因此，x 在模 N 下的解就是通用解中的最小非负整数解。

如何用中国余数定理求解模方程组？

假设我们需要找到一个数 x，满足以下三个条件：

x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)

首先，我们可以计算 M1、M2 和 M3，它们分别是 n2 * n3、n1 * n3 和 n1 * n2，即：

M1 = 5 * 7 = 35
M2 = 3 * 7 = 21
M3 = 3 * 5 = 15

然后，我们计算 y1、y2 和 y3，它们分别满足以下条件：

35 * y1 ≡ 1 (mod 3)
21 * y2 ≡ 1 (mod 5)
15 * y3 ≡ 1 (mod 7)

通过扩展欧几里得算法，我们可以计算出 y1 = 2、y2 = 1 和 y3 = 1。因此，

x ≡ 2*35*2 + 3*21*1 + 2*15*1 (mod 3*5*7)
  ≡ 233 (mod 105)

因此，最小非负整数解为 x = 233。

如何在程序中实现中国余数定理？

以下是 Python 代码片段，用于解决上述模方程组：

from functools import reduce

def ext_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        d, x, y = ext_gcd(b, a % b)
        return d, y, x - (a // b) * y

def chinese_remainder_theorem(n, a):
    """
    n 和 a 是两个等长的数组，分别表示模数和余数。
    """
    p = reduce(lambda x, y: x*y, n)
    result = 0
    for n_i, a_i in zip(n, a):
        y_i = p // n_i
        _, _, z_i = ext_gcd(y_i, n_i)
        result += a_i * y_i * z_i
    return result % p

我们可以通过以下方式使用该函数：

n = [3, 5, 7]
a = [2, 3, 2]
x = chinese_remainder_theorem(n, a)
print(x)  # 输出：233

以上代码片段演示了中国余数定理的基本思想和如何在程序中实现它。在实际使用中，我们还需要考虑一些错误处理和性能优化的问题。