找到四个总和为给定值的元素|套装2

在问题“找到四个总和为给定值的元素|套装1”中，我们已经介绍了一种暴力枚举的算法，时间复杂度为 $O(n^4)$。在本文中，我们将介绍一种时间复杂度为 $O(n^3)$ 的解法。

算法思路

我们可以先把数组中的所有两个数的和存到哈希表中，然后使用三重循环枚举剩下的两个数，判断是否存在相应的和。具体地：

1. 初始化一个空的哈希表 sums。
2. 对于数组中所有的 $i,j$ 满足 $i<j$，将 nums[i]+nums[j] 存储到哈希表 sums 中。如果哈希表中已经存在这个和，则在对应的值中加入一个元素 (i,j)。
3. 对于数组中所有的 $i,j,k$ 满足 $i<j<k$，使用三重循环枚举剩下的第四个数 l = target - nums[i] - nums[j] - nums[k]，判断是否存在 l 对应的值中有 (l,p) 满足 $p>k$。如果存在这样的 (l,p)，则说明存在一组解 (i,j,k,p)。
4. 返回所有的解。

算法实现

根据算法思路，我们可以使用 Python 语言实现如下：

from typing import List

def fourSum(nums: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
    n = len(nums)
    sums = {}
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            s = nums[i] + nums[j]
            if s in sums:
                sums[s].append((i,j))
            else:
                sums[s] = [(i,j)]
    ans = set()
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j+1, n):
                t = target - nums[i] - nums[j] - nums[k]
                if t in sums:
                    for p in sums[t]:
                        if p[0]>k:
                            ans.add(tuple(sorted([nums[i], nums[j], nums[k], nums[p[0]]])))
    return [list(x) for x in ans]

其中，sums 表示存储所有两个数的和的哈希表，ans 表示存储所有解的集合。在最后返回结果时，我们需要将集合转换为列表。

算法分析

算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中哈希表的插入和查找操作的时间复杂度是 $O(1)$。空间复杂度也为 $O(n^3)$，即哈希表占用的空间。

这种算法的优点是时间复杂度较低，适用于数据规模较大的情况。缺点是需要额外的空间存储哈希表，而且实现稍微麻烦一些。

总结

本文介绍了一种时间复杂度为 $O(n^3)$ 的解法，用于解决“找到四个总和为给定值的元素”问题。算法思路简单，但需要注意实现细节。如果对哈希表的使用较熟悉，可以考虑使用这种算法。