找到唯一的按字典序递增的四元组，总和为 B，所有元素的绝对值的 GCD 为 1

题目描述

给定一个整数B，找到一个按字典序递增的四元组(A,B,C,D)，使得A+B+C+D=B，且所有元素的绝对值的GCD为1。

解题思路

首先，我们需要对这个问题做一些限制：

• 字典序递增是一个比较清晰的限制，我们可以使用暴力搜索方式。具体来说，我们可以从小到大枚举A、B、C、D，计算它们的和sum，如果sum=B且满足约束条件，就找到了一个解。
• 绝对值的GCD为1意味着元素之间没有公因数，也就是说它们可以互质。这启示我们可以考虑用质数乘积来表示每个元素。

具体地，我们可以从小到大枚举一个质数p，每次将p乘以2、3、5、7四个数中的一个（取次小的那个），得到的四个数依次对应四个位置上的元素。注意，如果得到了相同的数，我们还需要把p再乘一次对应的数。这样，我们可以得到一个四元组（或部分四元组），并计算它们的和，如果满足要求就找到了一个解。

需要注意的一点是，如果我们得到的四元组中所有元素的绝对值乘积已经超过了B，就可以停止搜索了。

代码实现

from math import gcd

def search(B):
    res = []
    def dfs(A, p):
        if len(A) == 4:
            if sum(A) == B and gcd(A[0], gcd(A[1], gcd(A[2], A[3]))) == 1:
                res.append(tuple(A))
            return
        if p > B // abs(A[-1]):
            return
        for q in [2, 3, 5, 7]:
            if len(A) > 0 and p == 2 and q == 2:
                continue
            A.append(p * q)
            dfs(A, p * q)
            A.pop()
    dfs([], 1)
    return res[0] if res else None

总结

这道题目考察了搜索和质数相关的知识点。需要注意的一点是，我们在枚举质数的时候没有从小到大枚举，而是在计算乘积时取次小值，这样可以避免得到相同的数。同时，我们需要注意停止搜索的条件，以避免超时。