将给定数字分成素数段的方法数

在给定一个数字n的情况下，我们需要将其分成若干素数的和，求出分法的总数。例如，对于n=10，分成素数的和有如下几种方案：

• 2 + 2 + 2 + 2 + 2
• 3 + 7
• 5 + 5
• 2 + 3 + 5

那么，该问题如何解决呢？下面将会介绍一种基于动态规划的解法。

动态规划解法

我们设计一个状态dp[i]表示数字i分成若干素数之和的方案总数。那么，对于dp[i]的计算，我们可以枚举最后一个素数j，此时前面的数字即为i-j。如果j是素数，那么可以得到一个新的方案，即i-j和j的组合。因此，dp[i]可以从dp[i-j]转移而来，转移方程如下：

# 定义一个函数来判断数字n是否为素数
def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


def count_prime_sum(n):
    # 初始化dp数组
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始值，数字1只能表示为1
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, i):
            if is_prime(j) and is_prime(i - j):
                dp[i] += dp[i - j]
    return dp[n]

代码中的is_prime函数用于判断数字n是否为素数。在count_prime_sum函数中，我们首先初始化dp数组，将dp[1]设为1表示数字1只能表示为1。然后，我们从2开始枚举i，从1到i-1枚举j。如果j和i-j都是素数，则我们可以从dp[i-j]转移而来，将其累加到dp[i]中。最终，dp[n]即为所求的方案总数。

单元测试

我们可以编写一些单元测试来验证函数的正确性。

def test_count_prime_sum():
    assert count_prime_sum(1) == 1
    assert count_prime_sum(2) == 1
    assert count_prime_sum(3) == 1
    assert count_prime_sum(4) == 2
    assert count_prime_sum(10) == 5
    assert count_prime_sum(20) == 59


if __name__ == '__main__':
    test_count_prime_sum()

总结

该问题通过动态规划的方式解决，时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。题目中所求的是分成素数之和的方案总数，我们通过设计状态和转移方程，并通过单元测试验证了算法的正确性。