将一个数字拆分为不能被 K 整除的 K 个数字的总和

如果我们有一个数字n和一个整数k，我们想要将这个数字拆分为k个数字，每个数字不能被k整除，并且总和等于n，我们该怎么做呢？

这是一个典型的背包问题，可以使用动态规划进行求解。

动态规划解法

动态规划的解法如下：

def split_num(n, k):
    dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(k + 1)]
    for i in range(n + 1):
        dp[1][i] = 1
    for i in range(2, k + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for l in range(1, j):
                if j % k != 0:
                    dp[i][j] += dp[i - 1][l]
    return dp[k][n]

这里定义了一个二维的dp数组，其中dp[i][j]表示将j拆分成i个数，每个数都不是k的倍数的方案数。初始条件是dp[1][i]=1，因为将一个数字j拆分成一个数字j也是一种方案。然后我们进行迭代，计算dp[i][j]的值。

具体的计算方法是，我们先将dp[i][j]初始化为0，然后枚举最后一个数的值l，如果l不是k的倍数，那么剩下的n-l就可以拆分成i-1个数，每个数都不是k的倍数。这个可以直接用dp[i-1][n-l]计算。对于所有的合法l，我们将这些方案数相加即可。最终的答案是dp[k][n]。

示例

我们来看一个具体的例子，假设n=5，k=2。那么我们要将5拆分成2个数，每个数都不能是2的倍数。

首先，我们初始化dp数组：

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

然后，我们填写一些基础值：

0 1 2 3 4 5
0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0

这个时候，我们开始计算dp[2][5]的值。我们枚举所有的l，发现只有l=3是合法的，因为3不是2的倍数。那么我们可以使用之前计算的dp[1][2]的值计算dp[2][5]：

0 1 2 3 4 5
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0

最终，我们的答案是dp[2][5]=1。也就是说，拆分成1和4是唯一的合法方案。

参考文献

• Leetcode 1317. Convert Integer to the Sum of Two No-Zero Integers