N皇后问题使用带有随机邻居的爬山进行本地搜索

介绍

N皇后问题是一个经典的问题，即在NxN的棋盘上，放置N个皇后，使得它们互相之间不能攻击。对于此问题，有多种求解方法，其中一种是使用爬山算法进行本地搜索。

在爬山算法中，我们需要定义目标函数来评估当前解的质量，然后开始从一个随机初始解出发，通过不断改变当前解的邻居，来不断向更好的解靠近。在本地搜索中，我们只关注当前解和它的邻居解，而忽略其他所有的搜索空间。因此，本地搜索通常有可能陷入局部最优解中而无法逃脱。

为了解决这个问题，我们可以引入随机性来打破局部最优解。具体来说，在搜索邻居时，我们不总是选择最好的邻居解，而可以随机选择其他邻居解。这样做的目的是为了避免搜索过程被一些局部最优解所限制。当然，这样做也使得我们的搜索过程更具有随机性，可能会导致搜索时间增加。

在本篇文章中，我们将介绍如何使用带有随机邻居的爬山算法来解决N皇后问题。

实现

首先，我们需要定义目标函数。对于N皇后问题而言，目标函数就是计算当前解中互相攻击的皇后对的数量。注意，对于N皇后问题，任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。

def num_conflicts(queens):
    conflicts = 0
    for i in range(len(queens)):
        for j in range(i+1, len(queens)):
            if queens[i] == queens[j] or abs(queens[i]-queens[j]) == abs(i-j):
                conflicts += 1
    return conflicts

接着，我们定义一个随机邻居生成器。这个生成器会随机选择两个皇后，然后将它们交换位置，从而生成一个新的邻居解。

import random

def get_random_neighbor(queens):
    i, j = random.sample(range(len(queens)), 2)
    new_queens = queens.copy()
    new_queens[i], new_queens[j] = new_queens[j], new_queens[i]
    return new_queens

然后，我们可以开始实现爬山算法。首先，我们需要生成一个随机的初始解。此处我们使用了一个辅助函数get_random_state来生成初始解。注意，我们会不断地从当前的邻居中选择最好的解，并将其作为下一次搜索的起点，直到达到某个条件（例如时间限制等）为止。

def get_random_state(n):
    return [random.randint(0, n-1) for _ in range(n)]

def climb_hill(n, max_iter=10000, max_stuck=1000, time_limit=None):
    start_time = time.time()
    current_state = get_random_state(n)
    current_conflicts = num_conflicts(current_state)
    best_state = current_state
    best_conflicts = current_conflicts
    iter_count = 0
    stuck_count = 0
    while True:
        iter_count += 1
        if iter_count > max_iter:
            break
        if time_limit is not None and time.time() - start_time > time_limit:
            break
        neighbor = get_random_neighbor(current_state)
        neighbor_conflicts = num_conflicts(neighbor)
        if neighbor_conflicts == 0:
            return neighbor
        if neighbor_conflicts < current_conflicts:
            current_state = neighbor
            current_conflicts = neighbor_conflicts
            stuck_count = 0
        else:
            stuck_count += 1
        if current_conflicts < best_conflicts:
            best_state = current_state
            best_conflicts = current_conflicts
        if stuck_count > max_stuck:
            break
    return best_state

最后，我们可以在一个循环中对多个不同的N值运行爬山算法，并将结果打印出来。

import time

ns = [8, 16, 32, 64]
for n in ns:
    start_time = time.time()
    solution = climb_hill(n, max_iter=100000, max_stuck=10000)
    end_time = time.time()
    print(f"Solved for N={n} in {end_time-start_time:.2f}s with solution {solution}")

结论

本篇文章介绍了如何使用带有随机邻居的爬山算法来解决N皇后问题。我们首先定义了目标函数，然后编写了一个随机邻居生成器和爬山算法。最后，我们在不同的N值下运行了实验，并得到了可行的解。需要注意的是，虽然随机邻居生成器可以打破局部最优解，但它也可能会增加搜索时间。因此，在实际应用中，我们需要谨慎地考虑算法的设计和实现。