N-皇后问题 |使用随机邻居爬山的本地搜索

简介

N-皇后问题是指在一个NxN的棋盘上放置N个皇后，使得皇后之间互相不能攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一对角线上。本地搜索是一种基于当前状态的优化算法，在每次迭代中，从当前状态的邻居中选择一个最优的状态进行下一次迭代。随机邻居爬山就是在邻居中随机选择一个方向进行爬山。

本文将介绍如何使用随机邻居爬山的本地搜索算法来求解N-皇后问题。

实现

首先，我们定义一个表示状态的数据结构。在本问题中，一个状态就是一个长为N的列表，列表中的第i个元素表示第i行皇后所在的列数。例如，[0, 3, 1, 4, 2]表示第1行放皇后在第0列，第2行放皇后在第3列，以此类推。

class State:
    def __init__(self, queens):
        self.queens = queens

随机邻居爬山的本地搜索算法的核心是找到当前状态的邻居中最优的一个状态。在本问题中，一个状态的邻居就是将某一个皇后移动到它在当前列的下一个位置得到的新状态。例如，将[0, 3, 1, 4, 2]中的第2个皇后移动到3列，得到新状态[0, 3, 3, 4, 2]。

def get_neighbors(state):
    neighbors = []
    for i in range(len(state.queens)):
        for j in range(1, len(state.queens)):
            new_queens = state.queens[:]
            new_queens[i] = (new_queens[i] + j) % len(new_queens)
            neighbors.append(State(new_queens))
    return neighbors

接下来，我们需要一个函数来评估一个状态的优劣。在本问题中，一个状态的优劣可以通过计算它攻击到其他皇后的数量来评估。具体来说，对于每一对不同的皇后，如果它们处于同一行、同一列或同一对角线上，就说明它们相互攻击了。

def evaluate(state):
    attacks = 0
    for i in range(len(state.queens)):
        for j in range(i + 1, len(state.queens)):
            if state.queens[i] == state.queens[j] or abs(
                state.queens[i] - state.queens[j]
            ) == abs(i - j):
                attacks += 1
    return attacks

最后，我们就可以使用随机邻居爬山的本地搜索算法来求解N-皇后问题了。我们从一个随机初始状态开始，重复地生成当前状态的所有邻居，并从中选择一个评估最好的状态来替换当前状态，直到找到一个没有任何攻击的状态或者达到最大迭代次数。

import random

def solve(n, max_iter):
    state = State([random.randint(0, n-1) for i in range(n)])
    for i in range(max_iter):
        neighbors = get_neighbors(state)
        best_neighbor = min(neighbors, key=evaluate)
        if evaluate(best_neighbor) == 0:
            return best_neighbor
        state = best_neighbor
    return None

结论

随机邻居爬山的本地搜索算法是一种简单而有效的解决优化问题的算法。在N-皇后问题中，我们可以用它来寻找一个没有攻击的状态。当然，在实际问题中，我们可能需要结合其他算法来获得更好的性能。