竞争编程的对数技巧

竞争编程是程序员提高算法和编程技能的重要手段之一。对于有一定竞赛编程经验的程序员来说，掌握对数技巧无疑是一项关键的技能，能够大幅提高编程效率。本文将介绍竞争编程中的对数技巧。

1. 对数的定义

首先，让我们来回顾一下对数的定义。设 $a>0$ 且 $a≠1$，$b$ 是任意正实数。我们把 $a^x$ 中 $x$ 的值叫做 $a$ 的以 $b$ 为底的对数，记作：

$$ x=\log_a b $$

其中，$a$ 是对数的底，$b$ 是真数。

2. 对数在竞赛编程中的应用

在竞赛编程中，对数经常被用来解决复杂度分析和算法设计问题。

2.1. 对数的性质

对数有以下几个重要的性质：

• $\log_{a}(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c$；
• $\log_{a}(b^{c})=c\cdot \log_a b$；
• $\log_{a} b=\dfrac{\log_{c} b}{\log_c a}$；

基于这些性质，我们能够对先前推导的公式进行转换和化简，从而解决竞赛编程中复杂度分析和算法设计问题。

2.2. 对数的常用应用

在竞赛编程中，对数常常被用来解决以下问题：

1. 快速求幂
2. 快速乘除模
3. 数字转换

2.2.1. 快速求幂

在某些算法中，我们需要快速计算一个数的幂，例如计算 $a^b$。如果直接使用循环求幂，时间复杂度将达到 $O(b)$，随着 $b$ 的增加，运行时间将变得非常长。而使用对数技巧，我们能够将 $a^b$ 转化为 $e^{b\log_a}$，并使用快速幂算法（复杂度为 $O(\log b)$）来计算幂运算。代码如下：

double power(double a, int b) {
    return exp(b * log(a));
}

2.2.2. 快速乘除模

在竞赛编程中，快速乘除模常常被用来解决求余数或得到数值的整数部分。对于大整数的乘、除或模运算，我们可以使用对数、指数运算的方法来计算，从而在运算速度上带来明显优势。

例如，我们要计算 $a \cdot b \mod c$，这里 $a,b,c$ 为整数，并且满足 $a,b \leq c$，则可以将 $a$ 和 $b$ 虚构成一个 $n$ 位的小数，在将虚构的小数转化成 $2n$ 位的整数，使其不大于 $c^2$，然后进行整数相乘，再对 $c$ 取余数即可。代码如下：

int multiply(int a, int b, int mod) {
    return (long long)a * b % mod;
}

int qpow(int a, int b, int mod) {
    int result = 1 % mod;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) result = multiply(result, a, mod);
        a = multiply(a, a, mod);
        b >>= 1;
    }
    return result;
}

int divide(int a, int b, int mod) {
    return multiply(a, qpow(b, mod - 2, mod), mod);
}

其中，multiply(a, b, mod) 是求 $a\cdot b\operatorname{mod}c$ 的快速计算方法。qpow(a, b, mod) 是快速幂的实现方法。divide(a, b, mod) 是求 $a\operatorname{div}b\operatorname{mod}c$ 的方法。

2.2.3. 数字转换

在竞赛编程中，经常需要进行数字的进制转换、对数值取对数和反取对数、计算一些特殊函数的值等操作，这些都会用到对数。

例如，要将十进制整数 $n$ 转换为 $m$ 进制，可以使用下面的 C++ 代码：

string toBase(int n, int m) {
    string table = "0123456789ABCDEF";
    string ret;
    while (n) {
        ret = table[n % m] + ret;
        n /= m;
    }
    return ret;
}

3. 总结

本文中，我们介绍了竞赛编程中对数的作用，并讨论了对数的性质和在竞赛编程中的常见应用。熟练掌握对数技巧是编写高效程序的关键技能之一，希望读者通过本文的介绍能够加深对对数的理解，并在以后的竞赛中有所收获！