Gauss Siedel 方法程序

Gauss Siedel 方法是一种迭代算法，用于求解线性方程组。在计算数学中，它是求解稠密矩阵线性方程组的常用方法。它以前向和后向迭代的方式进行计算，并且每次计算仅使用前一个迭代步骤的解。在这篇文章中，我们将介绍如何实现 Gauss Siedel 方法程序。

算法原理

对于一个线性方程组 Ax = b，Gauss Siedel 方法的求解步骤如下：

1. 将矩阵 A 分解为 L、D 和 U 三部分，其中 L 包含 A 的下三角元素，D 包含 A 的对角线元素，U 包含 A 的上三角元素。

2. 对于初始估计值 $x^{(0)}$，将其分解为 $x^{(0)} = x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ..., x_n^{(0)}$。

3. 利用以下公式进行前向迭代计算（i 从 1 到 n）：

   $$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)}\right) $$

4. 如果迭代精度已达到要求，停止迭代，输出解 $x^{(k+1)}$；否则，回到第三步，继续迭代。

可以看出，Gauss Siedel 方法的计算过程只需要进行一次矩阵向量乘法和向量加法运算，因此其速度比较快，尤其适合求解稠密矩阵线性方程组。

代码实现

下面是一个用 Python 实现的 Gauss Siedel 方法程序：

def gauss_siedel(A, b, x0, eps):
    n = len(A)
    L = [[0] * n for i in range(n)]
    D = [[0] * n for i in range(n)]
    U = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                D[i][j] = A[i][j]
            elif i < j:
                U[i][j] = A[i][j]
            else:
                L[i][j] = A[i][j]
    x = x0
    while True:
        for i in range(n):
            s1 = sum(U[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
            s2 = sum(L[i][j] * x[j] for j in range(i))
            x[i] = (b[i] - s1 - s2) / D[i][i]
        if max(abs(A @ x - b)) < eps:
            break
    return x

这个程序接受 4 个参数：系数矩阵 A、常数向量 b、初始估计值 x0 和迭代精度 eps。它首先将 A 分解为 L、D 和 U 三部分，然后进行前向迭代，直到满足迭代精度要求才停止。

在实际使用中，我们可以将该程序封装为一个类，提供输入输出接口，以便更方便地调用。

总结

Gauss Siedel 方法是求解线性方程组的一种重要方法，它在计算速度和存储空间上都有优势，因此被广泛应用于科学计算和工程计算中。在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的求解算法，并注意计算精度和迭代次数的控制，以获得最优的计算结果。