计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对

本程序旨在计算在给定斜率范围内，连接的所有坐标对。具体而言，程序输入一个斜率范围 [-K, K] 和一个点集合，程序将计算所有符合条件的点对，并以 markdown 格式返回结果。

输入格式

• K：float，表示斜率的范围；
• points：list of tuple，表示点的集合，其中每个元素都是包含两个浮点数的元组，分别表示点的横纵坐标。

输出格式

• markdown 格式的字符串，其中每行说明一个符合条件的点对，格式为 "(x1, y1), (x2, y2)"。

示例

输入

K = 1
points = [(0,0), (1,2), (2,1), (3,4), (4,3), (5, 1)]

输出

(0, 0), (2, 1)
(1, 2), (5, 1)
(2, 1), (4, 3)
(3, 4), (5, 1)

实现思路

粗略思路

为了计算所有符合要求的点对，我们可以使用双重循环依次枚举所有点对，并计算它们的斜率。只有当斜率在给定范围内时，我们才加入到结果集中。

详细过程如下：

1. 遍历所有的点对 (p1, p2)；
2. 计算斜率 slope = (p2[1] - p1[1]) / (p2[0] - p1[0])；
3. 如果 -K <= slope <= K，将 (p1, p2) 加入结果集。

时间复杂度：O(n^2)

优化思路

考虑优化时间复杂度，避免双重循环。在上面的粗略思路中，我们需要遍历所有的点对，时间复杂度为 O(n^2)。而实际上，我们可以将所有的点按照斜率分组，对每一组只需找到符合条件的点对即可。

详细过程如下：

1. 将点按照斜率分组，将同一组的点存在同一个列表中；
2. 遍历每一组点；
3. 对于每一个点 p1，计算它与同组其它点的斜率，将斜率在 [-K, K] 范围内的点对加入结果集。

时间复杂度：O(n^2)

Python 代码实现

def find_pairs(K, points):
    from collections import defaultdict
    pairs = set()
    groups = defaultdict(list)
    n = len(points)
    
    # 将点按斜率分组
    for i in range(n-1):
        for j in range(i+1, n):
            dx, dy = points[j][0] - points[i][0], points[j][1] - points[i][1]
            slope = dy / dx if dx != 0 else float('inf')
            groups[slope].append((i, j))
    
    # 遍历每一组
    for slope in groups:
        if -K <= slope <= K:
            for pair in groups[slope]:
                pairs.add(pair)
    
    # 返回结果
    res = ""
    for pair in pairs:
        res += f"({points[pair[0]][0]}, {points[pair[0]][1]}), ({points[pair[1]][0]}, {points[pair[1]][1]})\n"
    return res

注意事项

1. 在计算斜率时应注意分母为零的情况，此时斜率为正无穷或负无穷；
2. 在将点按斜率分组时，应将相同的点除去，避免重复计算；
3. 由于浮点运算存在精度误差，应避免直接比较浮点数大小，而应将斜率范围 [-K, K] 转换为 [K, -K]，并用小于等于或大于等于进行比较。