允许混洗时，用于 Q 查询的 Array 给定范围内值的最大总和

当给定一个数组，我们希望查询数组的一个区间内的数的和的最大值。同时，我们允许对数组进行混洗操作，也就是任意调换数组中两个元素的位置。

这时，我们如何求出混洗后，数组的一个区间内值的最大总和呢？

解法

暴力枚举

暴力枚举法，可以枚举所有可能的混洗方式，再逐一计算区间和，取最大值即可。时间复杂度为 O(n!)，非常不可取。

贪心思想

通过对一些简单的例子的观察和分析，我们可以得到如下的结论：

对于区间内所有的正数，我们将它们从小到大排列，每次将当前最小的正数与负数交换位置，则可以使区间的和增大。同理，对于区间内所有的负数，我们将它们从大到小排列，每次将当前最大的负数与正数交换位置，则可以使区间的和增大。按照这个规则，每次都将当前能增加区间和的数与负数交换位置，直到不能再交换为止。

值得注意的是，如果数组中没有正数或负数，此时数组区间的和即为最大的区间和。

在实际操作中，我们首先使用一个快排将数组排序，然后按上述规则依次交换元素的位置即可。时间复杂度为 O(nlogn)。

动态规划

使用动态规划的思想，我们对于数组的任意一个区间，可以定义 f(i, j) 为混洗后的数组中该区间的最大和，则我们可以得到如下的转移方程：

f(i, j) = max(f(i, j-1) + a[j], f(i+1, j))

其中 a[] 为混洗后的数组。

思路比较简单，但是时间复杂度为 O(n^2)。

代码实现

Python 实现

贪心思想的实现

def max_sum(nums, start, end):
    if start > end:
        return 0

    nums = sorted(nums[start:end+1])
    left, right = start, end
    max_sum = 0

    # 移动右指针
    while right >= start and nums[right] > 0:
        max_sum += nums[right]
        right -= 1

    # 移动左指针
    while left <= end and nums[left] < 0:
        max_sum += nums[left]
        left += 1

    return max_sum

动态规划的实现

def max_sum(nums, start, end):
    n = len(nums)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        f[i][i] = nums[i]

    for len_ in range(2, n+1):
        for i in range(n-len_+1):
            j = i+len_-1
            f[i][j] = max(f[i][j-1] + nums[j], f[i+1][j])

    return f[start][end]

C++ 实现

贪心思想的实现

#include <algorithm>
using namespace std;

int maxSum(vector<int>& nums, int start, int end) {
    if (start > end) {
        return 0;
    }

    sort(nums.begin()+start, nums.begin()+end+1);
    int l = start, r = end, max_sum = 0;

    // 移动右指针
    while (r >= start && nums[r] > 0) {
        max_sum += nums[r];
        r--;
    }

    // 移动左指针
    while (l <= end && nums[l] < 0) {
        max_sum += nums[l];
        l++;
    }

    return max_sum;
}

动态规划的实现

#include <vector>
using namespace std;

int maxSum(vector<int>& nums, int start, int end) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> f(n, vector<int>(n, 0));

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i][i] = nums[i];
    }

    for (int len_ = 2; len_ <= n; len_++) {
        for (int i = 0; i < n-len_+1; i++) {
            int j = i+len_-1;
            f[i][j] = max(f[i][j-1] + nums[j], f[i+1][j]);
        }
    }

    return f[start][end];
}

总结

以上就是三种解决该问题的算法的实现和介绍。贪心算法虽然时间复杂度较低，但是贪心策略并不总是正确的；动态规划的思想很自然，但是时间复杂度比较高；暴力枚举的时间复杂度更高，不可考虑。实际运用中，应根据具体情形选择较优的算法。