允许更新时计算给定数组范围内的原始数

在程序开发中，我们往往需要对数组进行不同的操作，包括查询、修改、统计等。当需要对数组进行更新的操作时，我们为了减少计算量，通常会记录一些中间变量或者预处理数组。本文将介绍一种常见的技巧，即允许在更新数组的同时，计算给定数组范围内的原始数。

思路概述

我们考虑如何快速计算数组中一段连续的数的和。常见的方法是使用前缀和（prefix sum）。前缀和是一个新的数组，它的第 i 个元素表示原数组前 i 个元素的和。给定一个区间 [l, r]，我们可以使用前缀和求出该区间内元素的和：

sum[l, r] = prefix_sum[r] - prefix_sum[l-1]

其中，prefix_sum[i] 表示原数组前 i 个元素的和。

当我们需要在更新数组元素的同时，计算一段区间内元素的和时，我们可以使用差分（difference）数组。差分数组是原数组与其前缀和数组的元素之差。给定一个区间 [l, r]，我们可以使用差分数组求出该区间内元素的和：

sum[l, r] = prefix_sum[r] - prefix_sum[l-1] - diff[l]

其中，prefix_sum[i] 表示原数组前 i 个元素的和，diff[i] 表示原数组与前缀和数组的元素之差。

在更新原数组中的元素时，我们需要同时更新差分数组中的元素。具体而言，假设我们要将原数组中的第 i 个元素增加 delta，则对应的差分数组中的元素 diff[j] (j >= i) 都需要增加 delta。

代码实现

下面是使用差分数组计算一段区间内元素的和的代码片段。

# 初始化原数组 nums 和前缀和数组 p_sum
n = len(nums)
diff = [0] * n
p_sum = [0] * n
p_sum[0] = nums[0]
for i in range(1, n):
    diff[i] = nums[i] - nums[i-1]
    p_sum[i] = p_sum[i-1] + nums[i]

# 查询区间 [l, r] 的和
if l == 0:
    return p_sum[r]
else:
    return p_sum[r] - p_sum[l-1] - diff[l]
   
# 更新元素 i，并同时更新差分数组
delta = 10  # 假设将元素 i 增加 10
nums[i] += delta
for j in range(i, n):
    diff[j] += delta

结语

本文介绍了如何使用差分数组在更新数组的同时，计算给定数组范围内的原始数。这种技巧在一些需要频繁更新数组并同时计算数值的场景中十分有用。需要注意的是，在使用差分数组时，我们需要保证数组的一致性，并手动更新差分数组中的元素。