最大总和连续子数组的范围查询

问题描述

在一个数组中，找到一个连续子数组，使得该子数组的元素之和最大，并返回该子数组的起始和结束下标。

例如，给定数组 [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，其中最大的子数组为 [4, -1, 2, 1]，其和为 6。因此，应返回其起始下标 3 和结束下标 6。

解决方案

暴力解法

最朴素的解法就是枚举所有可能的子数组，并计算其元素之和，取最大值。时间复杂度为 $O(n^3)$。

def max_subarray(nums):
    max_sum = float("-inf")
    max_range = None
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)):
            cur_sum = sum(nums[i:j+1])
            if cur_sum > max_sum:
                max_sum = cur_sum
                max_range = (i, j)
    return max_range, max_sum

动态规划

可以采用动态规划的思路来求解该问题。定义状态 $dp_i$ 表示以元素 $i$ 结尾的最大子数组的和。则可以得到状态转移方程：

$$dp_i = \max(nums[i], dp_{i-1} + nums[i])$$

同时，为了方便记录最大的子数组和，可以再定义一个变量 $max_sum$ 来记录全局最大和，$max_range$ 来记录子数组的起始和结束下标。

def max_subarray(nums):
    n = len(nums)
    max_sum = nums[0]
    max_range = (0, 0)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        if dp[i-1] > 0:
            dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
        else:
            dp[i] = nums[i]
        if dp[i] > max_sum:
            max_sum = dp[i]
            max_range = (max_range[0], i)
        if nums[i] > max_sum:
            max_sum = nums[i]
            max_range = (i, i)
    return max_range, max_sum

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

优化空间复杂度

由于状态 $dp_i$ 只依赖于 $dp_{i-1}$，因此不必存储整个 dp 数组，只需要用一个变量来记录上一次的状态即可。同时，由于每次只需要用到上一次的状态，因此可以将 dp 数组保存到一个变量 $prev$ 中。

def max_subarray(nums):
    n = len(nums)
    max_sum = nums[0]
    max_range = (0, 0)
    dp = nums[0]
    for i in range(1, n):
        if dp > 0:
            dp = dp + nums[i]
        else:
            dp = nums[i]
        if dp > max_sum:
            max_sum = dp
            max_range = (max_range[0], i)
        if nums[i] > max_sum:
            max_sum = nums[i]
            max_range = (i, i)
    return max_range, max_sum

这样做的时间复杂度仍然为 $O(n)$，但空间复杂度降为 $O(1)$，是最优解法。

总结

本题可以采用暴力解法和动态规划两种思路来求解，其中动态规划思路是优化时间复杂度的主要思路。在动态规划的思路里，可以采用空间压缩技巧来优化空间复杂度，达到最优解法。