来自给定点的所有对之间距离的平方和

在计算机科学中，我们经常需要计算点集中所有对之间的距离。常用的方法是计算欧几里得距离，即两点间的距离平方和的平方根。然而，在某些情况下，我们只需要计算距离平方和，并不需要计算平方根。

问题描述

给定一个点集 $P = {p_1, p_2, ..., p_n}$，其中 $p_i = (x_i, y_i)$ 表示二维平面上的一个点。我们需要计算所有 $P$ 中点对之间的距离平方和：

$$ \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left\lVert p_i - p_j \right\rVert^2 $$

其中 $\left\lVert p_i - p_j \right\rVert^2 = (x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2$ 是点 $p_i$ 和 $p_j$ 之间的距离平方。

实现

为了计算距离平方和，我们可以使用两重循环枚举所有点对，然后计算它们之间的距离平方。这种算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，并不适合处理大规模的点集。

另一种更快的方法是使用矩阵乘法来计算距离平方和。我们可以把点集 $P$ 中的每个点表示为一个行向量，形式为：

$$ p_i = \begin{bmatrix}x_i & y_i\end{bmatrix} $$

然后我们可以构造一个 $n \times 2$ 的矩阵 $M$，其中每一行对应一个点：

$$ M = \begin{bmatrix}x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \ \vdots & \vdots \ x_n & y_n\end{bmatrix} $$

接下来，我们可以使用矩阵乘法计算点集中所有点对之间的距离平方和。令 $D$ 为 $n \times n$ 的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\left\lVert p_i - p_j \right\rVert^2$。则有：

$$ D = MM^T - 2M\cdot M^T + M^TM $$

其中 $\cdot$ 表示矩阵乘法，$T$ 表示矩阵的转置。根据这个公式，我们可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内计算距离平方和。

以下是使用 Python 实现矩阵乘法的代码片段：

import numpy as np

def distance_squared_sum(points):
    # 将点集转换为矩阵
    M = np.array(points)
    # 计算 D 矩阵
    MMt = np.matmul(M, M.T)
    MtM = np.matmul(M.T, M)
    D = np.expand_dims(np.diag(MMt), axis=1) + np.diag(MMt) - 2 * MMt + MtM
    
    # 计算距离平方和
    return np.sum(D)

总结

本文介绍了如何计算来自给定点的所有对之间距离的平方和。我们可以使用暴力算法在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内解决这个问题，也可以使用矩阵乘法在同样的时间复杂度内更快地计算距离平方和。由于矩阵乘法的复杂度往往比二重循环低，因此对于大规模的点集，使用矩阵乘法更加高效。