如何计算平方和？

数系包括不同类型的数，例如质数、奇数、偶数、有理数、整数等。这些数可以相应地以数字和文字的形式表示。例如，40、65等以数字形式表示的数字，也可以写成40、65。

A Number system or numeral system is defined as an elementary system to express numbers and figures. It is the unique way of representing of numbers in arithmetic and algebraic structure.

数字用于各种算术值，适用于执行各种算术运算，如加法、减法、乘法等，这些运算适用于日常生活中的计算目的。数字的值由数字、它在数字中的位置值以及数字系统的基数决定。数字通常也称为数字，是用于计数、测量、标记和测量基本量的数学值。

Numbers are the mathematical values or figures used for the purpose of measuring or calculating quantities. It is represented by numerals as 2, 4, 7, etc. Some examples of numbers are integers, whole numbers, natural numbers, rational and irrational numbers, etc.

什么是平方和？

数字的平方和称为数字的平方值之和。它基本上是平方数的加法。

这里 2 项、3 项或“n”个项、前 n 个奇数项或偶数项、一组自然数或连续数等可以是平方项

我们过去常常执行平方数相加的算术运算。在这里，我们将遇到平方项相加的公式。

• 平方和公式
• 算术级数求和 N 项
• 几何级数之和
• 第 N 项总和

在算术中，我们遇到了 n 个自然数之和的公式。计算平方和的公式和技术有很多。让我们使用一些关于两个数字、三个数字和 n 个数字的公式。一个数的平方用 n ²表示。

a ² + b ² → a 和 b 两个数之和

a ² + b ² + c ² → 三个数 a、b 和 c 的和

(a ₁ ) ² + (a ₂ ) ² + ...。 + (a _n ) ² →n 个数的平方和

就统计数据而言，这等于单个值与平均值之间的变异平方和，即

$Σ(a_i + \bar{a})^2$

Where a_i represents individual values and $\bar{a}$ is the mean.

平方和的公式

公式 1：对于任意两个数 a 和 b 的平方相加，表示为：

a²+ b² = (a + b)² – 2ab

where a and b are real numbers

As per algebraic identities, we know;

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Therefore, we can write the above equation as;

a²+b² = (a + b)² – 2ab

公式 2：对于任意三个数的平方，a、b 和 c 表示为：

a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2ab – 2bc – 2ac

where a, b and c are real numbers

From the algebraic identities, we know;

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Therefore, we can write the above equation as;

a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2ab – 2bc – 2ac

公式 3：对于第 n 个自然数

自然数包括从 1 到无穷大的所有计数数。如果第 n 个连续自然数是 1, 2, 3, 4, ..., n，则“n”个连续自然数的平方和表示为 1 ² + 2 ² + 3 ² + ... + n ² 。

它也用符号Σn ²表示。自然数平方相加公式如下：

Σn² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

公式 4：前 n 个奇数的平方和

第一个奇数自然数平方的加法表示为：

Σ(2n – 1)² = [n(2n + 1)(2n – 1)]/3

示例问题

问题1：在公式的帮助下直接计算5 ² + 5 ² 。验证答案。

解决方案：

As We know;

a² + b² = (a + b)² – 2ab

5² + 5² = (5 + 5)² – 2×5×5

25 + 25 = 100 – 50

        50 = 50

Now, directly, we get;

5² + 5² = 25 + 25 = 50

Both answers are the same. Hence, verified.

问题 2：求前 50 个自然数的平方相加。

解决方案：

Here The formula : sum of squared natural numbers is given by:

Σn² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

Here, n = 50

Σ50²  = (50/6) (50 + 1)(2 × 50 + 1)

Σ50²  = (25/3) (51)(101)

Σ50² = (25)(51)(37)

Σ50² = 47175

问题3：在公式的帮助下直接计算4 ² + 4 ² + 4 ² 。验证答案。

解决方案：

As we know 

a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2ab – 2bc – 2ac

4² + 4² + 4² = (4 + 4 + 4)² – 2×4×4 – 2×4×4 – 2×4×4

16 + 16 + 16 = 144 – 32 – 32 – 32 

48 = 48

Now directly we get 

= 4² + 4² + 4²

= 16 + 16 + 16 

= 48 

Hence verified