求解所有给定点的最小欧氏距离总和

本文介绍如何求解所有给定点的最小欧氏距离总和。给定一组点集，我们需要找到一条路径，经过所有点且总距离最小。这是一个典型的 TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）。

算法思路

TSP 是一个 NP 难问题，不存在多项式时间复杂度的算法。但对于小规模的点集，我们可以使用暴力枚举或者动态规划解决。

对于暴力枚举，我们可以枚举所有可能的路径，计算其总距离，找到最小值，时间复杂度为 O(n!)，其中 n 为点的个数。虽然该算法具有最优解的性质，但不能应用于大规模数据。

对于动态规划，我们可以定义状态 dp[S][i] 表示经过集合 S 中所有点且以 i 结尾时的总距离最小值。其中，S 是一个二进制数，表示一个点集，i 是一个具体的点。状态转移方程如下：

$$dp[S][i]=\min_{j∈S && j≠i}{dp[S∖{i}][j]+dist(i,j)}$$

其中，j ∈ S 且 j ≠ i 表示集合 S 中除 i 以外的所有点。dist(i,j) 表示点 i 到点 j 的欧氏距离。初始状态 dp[{1}][1]=0，表示起点为 1。

算法的时间复杂度为 O(n^2×2^n)。因此，该算法适用于中等规模数据。

代码实现

下面是动态规划的代码实现，假设点的坐标保存在二维数组 pos 中，其中 pos[i] 表示点 i 的坐标。

def tsp(pos):
    n = len(pos)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0
    for S in range(1, 1 << n):
        for i in range(n):
            if not S & (1 << i):
                continue
            for j in range(n):
                if j == i or not S & (1 << j):
                    continue
                dp[S][i] = min(dp[S][i], dp[S ^ (1 << i)][j] + ((pos[i][0]-pos[j][0])**2+(pos[i][1]-pos[j][1])**2)**0.5)
    return min(dp[(1 << n) - 1][i] + ((pos[i][0]-pos[0][0])**2+(pos[i][1]-pos[0][1])**2)**0.5 for i in range(n))

pos = [(0,0), (1,1), (2,0)]
print(tsp(pos))  # 输出 4.828

其中，1 << n 表示 2^n，即点集的所有子集。dp[S][i] 表示经过点集 S 中所有点且以 i 结尾时的总距离最小值。S & (1 << i) 表示二进制数 S 的第 i 位是否为 1。S ^ (1 << i) 表示将二进制数 S 中第 i 位取反。((pos[i][0]-pos[j][0])**2+(pos[i][1]-pos[j][1])**2)**0.5 表示点 i 到点 j 的欧氏距离。

最终，我们需要计算 min(dp[(1 << n) - 1][i] + ((pos[i][0]-pos[0][0])**2+(pos[i][1]-pos[0][1])**2)**0.5 for i in range(n))，其中 (1 << n) - 1 表示所有点集，i 表示以 i 结尾。

总结

本文介绍了如何求解所有给定点的最小欧氏距离总和。当点的个数较少时，我们可以使用动态规划算法求解。随着点的个数增加，该算法的时间复杂度会成指数增长，因此我们需要使用其他方法求解。