通过在偶数大小的子数组上右移而获得的偶数索引元素的最大和

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 nums，其中偶数个位置存放着偶数值，奇数个位置存放着奇数值。定义一个子数组为原数组中连续的由偶数位置组成的子序列，即 nums[i], nums[i + 2], ..., nums[j]，其中 0 ≤ i ≤ j < n。返回子数组中最大的偶数元素的和。如果数组中没有偶数元素，则返回 0。

示例

输入: nums = [3,5,2,1,4,7,8,6]

输出: 18

解释: 子数组 [4,7,8,6] 中，最大的偶数元素为 8，其和为18。

解法

由于该数组的相邻两个元素奇偶性不同，我们可以将奇数的位置和偶数的位置分别拆成两个数组。即：

even_num = nums[::2] # 取偶数位置的元素（从0开始）
odd_num = nums[1::2] # 取奇数位置的元素

那么问题转化为：如何在一个长度为偶数的数组中，右移获得一段连续的子数组，并且使得子数组中所有元素的和最大。

假设数组是 [1, 2, 3, 4]，我们右移 k 位后，变成 [3, 4, 1, 2]。如果我们需要求连续的具有最大和的子数组，可以使用动态规划的方法。我们定义 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的连续子数组的最大和。因此，dp 方程为：

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

具体过程可以看下图：

从图中可以看出，我们需要找到这个数组右移后的一段连续的子数组，使得它包含的所有偶数元素的和最大。那么我们就可以对这个问题进行拆分：

• 对于每个元素，它要么在该子数组中，要么不在该子数组中；
• 最终的结果就是这个元素在该子数组中，或不在该子数组中，两者的最大值。

假设我们的偶数元素的下标为 0, 2, 4, ..., 2k。可以发现，该下标数组形成了一个固定大小的循环数组。因此，对于右移 k 位的循环数组，如果我们选择其中的一个偶数下标开始，就可以继续沿着下标数组走，直到到达下一个相邻的偶数下标。这两个下标之间的所有奇数位置的元素都应该包含在该子数组中。

下面的代码实现就是以上算法的具体实现。

from typing import List

def max_sum_even_subarray(nums: List[int]) -> int:
    # 将偶数元素和奇数元素分别存入两个数组
    even_num = nums[::2]
    odd_num = nums[1::2]
    
    n = len(even_num)
    # 构造下标数组，便于右移计算
    index = [2*i for i in range(n)]
    # 将倒数第一个偶数位置的下标作为数组的最后一个元素，便于计算
    index.append(index[-1] + 2)

    res = 0
    for i in range(n):
        # 当前偶数下标
        start = index[i]
        # 下一个偶数下标
        end = index[i+1]
        # 计算从 start 到 end 区间内的最大子数组和
        curr_sum = 0
        max_sum = 0
        for j in range(start, end):
            curr_sum = max(curr_sum + even_num[j//2], even_num[j//2])
            max_sum = max(max_sum, curr_sum)
        res += max_sum

    return res

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$（存储偶数下标元素的数组和下标数组）。