数组上的乘法：O(1)中的范围更新查询

介绍

在许多应用程序中，我们需要对一些数字数组进行更新和查询。例如，当我们需要维护一个某个区间内数字的积时，我们需要能够进行范围更新和查询。这是一个经典的问题，可以通过使用数组上的乘法进行优化。在本文中，我们将介绍如何使用这种技术来实现O(1)时间内的范围更新和查询。

数组乘法

对于任意数字数组$a[0...n-1]$，我们可以定义另一个数组$p[0...n-1]$，其中$p[i]=a[0]a[1]...*a[i]$。这样，我们可以用O(1)时间计算出任何一个范围内的数字积。例如，对于一个区间$[l,r]$，我们只需要计算$p[r]/p[l-1]$即可得到区间内数字积的值。

例如，考虑下面的数组：

a: 2 3 1 5 4
p: 2 6 6 30 120

如果我们想要计算区间$[1,3]$内的数字积，我们可以计算出$p[3]/p[0]$：

p[3]/p[0] = 30/2 = 15

因此，区间$[1,3]$内的数字积为$15$。

范围更新和查询

假设我们需要支持两种操作：

1. 更新$a$数组中一个单独位置的值
2. 查询一个给定区间的数字积

我们可以使用上面讨论的数组$p$来实现这些操作。首先，我们根据原始数组$a$计算出数组$p$。现在，我们可以对数组$a$进行任何单个位置的更新操作，并且需要在O(1)时间内更新数组$p$来反映这些更改。具体而言，如果$a[i]$被更新为$x$，则我们需要在O(1)时间内更新$p[j]$（其中$j\geq i$）的值：

$$ p[j]\gets \begin{aligned}p[j]\times x, & j\geq i, \ p[i-1]\times x,& j<i.\end{aligned} $$

注意，如果$i=0$，则更新所有$p$值的公式中的$p[-1]$必须被认为是$1$。

现在考虑如何计算区间$[l,r]$内的数字积。我们可以使用最初的$p$数组来计算区间$[0,r]$和$[0,l-1]$内的数字积。然后，我们可以使用它们来计算区间$[l,r]$内的数字积：

$$ a[l:r]=p[r]/p[l-1]. $$

因此，我们需要在O(1)时间内计算$[0,l-1]$和$[0,r]$的数字积。这可以通过$p$数组轻松实现。

代码片段

这是C++中的数组实现的范围更新和查询操作的代码：

#include <vector>
using namespace std;

class RangeProduct {
  vector<int> a, p; // a数组和p数组
 public:
  RangeProduct(const vector<int>& a_) : a(a_) {
    p.resize(a.size()); // 扩展p数组
    if (!a.empty()) {
      p[0] = a[0];
      for (int i = 1; i < a.size(); ++i) {
        p[i] = p[i - 1] * a[i];
      }
    }
  }

  void update(int i, int x) { // 更新
    int delta = (i == 0) ? x / a[0] : x / a[i] + 1; 
    for (int j = i; j < a.size(); ++j) { // 处理i及之后的部分
      p[j] *= delta;
    }
    a[i] = x; // 更新a[i]
  }

  int query(int l, int r) const { // 询问
    int numerator = (l > 0) ? p[r] / p[l - 1] : p[r];
    return numerator;
  }
};

结论

通过使用数组$p$，我们可以实现在O(1)时间内进行范围更新和查询。这种技术可以在许多数字数组问题中提高效率。通过使用类似的技巧，我们也可以优化其他数字数组操作。