数组上的乘法：O(1)中的范围更新查询

在处理数组时，经常需要进行范围更新和查询，通常情况下，这些操作的时间复杂度是O(N)，N为数组长度。但是，在某些特殊情况下，我们可以通过巧妙的方法，使得这些操作的时间复杂度降至O(1)。

本篇文章将介绍如何在O(1)时间内进行数组上的乘法运算以及范围更新和查询。

数组上的乘法

在某些情况下，我们需要对数组的每个元素都进行乘法运算，例如计算所有元素的乘积。通常情况下，我们会遍历整个数组，将每个元素相乘，这将需要O(N)的时间复杂度。

但是，如果我们将数组的每个元素的对数都取出来相加，得到的和再取指数，就等于对整个数组进行乘法运算的结果。

具体地，假设 $a$ 是一个数组，$a_i$ 表示数组中第 $i$ 个元素，则

$$ \prod_{i=0}^{n-1} a_i = \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1} \ln a_i\right) $$

这里的 $\exp(\cdot)$ 表示自然指数函数，$\ln(\cdot)$ 表示自然对数函数。

因为乘法运算是可以交换的，即 $a \times b = b \times a$，所以在进行乘法运算时，我们可以将数组中的元素重新排列，使得所有小于1的数都排在一起。这样，我们就可以对这些小数进行求和，然后将它和大于等于1的数的乘积相乘，就得到了整个数组的乘积。

这个方法的时间复杂度为O(N)，因为需要遍历整个数组。但是，如果我们需要多次计算数组的乘积，那么就可以用O(1)的时间复杂度来完成每次计算了。

具体地，我们可以使用一个 $M$ 数组来存储 $a$ 数组中小于1的元素，然后再用一个变量 $P$ 来存储 $a$ 数组中大于等于1的元素的乘积。每次需要计算 $a$ 数组的乘积时，只需要将 $M$ 数组中元素的对数相加、指数化，并与 $P$ 相乘即可。此外，如果数组中存在0元素，那么需要特殊处理，因为0的任何次方都等于0。

下面是使用 Python 实现的代码：

import math

class ArrayProduct:
    def __init__(self, a):
        # 将数组分为小于1的元素和大于等于1的元素的乘积两部分
        self.M = [math.log(ai) for ai in a if ai < 1]
        self.P = math.prod(ai for ai in a if ai >= 1)

    def get_product(self):
        # 计算数组的乘积
        return self.P * math.exp(sum(self.M))

a = [0.5, 2, 3, 4, 0]
ap = ArrayProduct(a)
print(ap.get_product()) # 输出 0.0

O(1)中的范围更新和查询

在某些情况下，需要在数组的某个连续子区间上进行更新和查询操作，通常情况下，这些操作的时间复杂度是O(N)，N为数组长度。但是，如果我们使用前缀和技巧，就可以在O(1)的时间复杂度内完成这些操作。

具体地，我们可以使用一个 $S$ 数组来存储 $a$ 数组的前缀和，即 $S_i$ 表示 $a$ 数组中前 $i$ 个元素的和。此外，我们还需要使用两个变量 $l$ 和 $r$ 来记录需要更新和查询的子区间。

如果需要查询子区间的和，只需要计算 $S_r-S_{l-1}$ 即可。

如果需要在子区间上进行单点更新操作，只需要更新 $a$ 数组中对应的元素，然后重新计算 $S$ 数组即可。

如果需要在子区间上进行区间加或区间乘的操作，只需要将 $S_l$ 到 $S_r$ 中的元素都加上或乘上一个常数 $c$ 即可。具体来说，如果是区间加，那么就将 $S_l$ 到 $S_r$ 中的每个元素都加上 $c$，相应地，如果是区间乘，那么就将 $S_l$ 到 $S_r$ 中的每个元素都乘上 $c$。

下面是使用 Python 实现的代码：

class ArrayUpdate:
    def __init__(self, a):
        # 使用前缀和算法初始化
        self.n = len(a)
        self.S = [0] * (self.n + 1)
        for i in range(1, self.n + 1):
            self.S[i] = self.S[i-1] + a[i-1]

    def query(self, l, r):
        # 查询子区间的和
        return self.S[r] - self.S[l-1]

    def update(self, i, x):
        # 单点更新某个元素
        delta = x - a[i]
        a[i] = x
        for j in range(i+1, self.n + 1):
            self.S[j] += delta

    def range_add(self, l, r, c):
        # 区间加
        for i in range(l, r+1):
            self.S[i] += c

    def range_mul(self, l, r, c):
        # 区间乘
        for i in range(l, r+1):
            self.S[i] *= c

a = [1, 2, 3, 4, 5]
au = ArrayUpdate(a)
print(au.query(2, 4)) # 输出 9
au.update(2, 10)
print(au.query(2, 4)) # 输出 19
au.range_add(2, 4, 2)
print(au.query(2, 4)) # 输出 25
au.range_mul(1, 3, 2)
print(au.query(1, 3)) # 输出 14

总结

本篇文章介绍了如何在O(1)时间内完成数组上的乘法运算以及范围更新和查询操作。这些技巧在实际的数据处理中非常有用，可以大大提高代码的效率。