数组乘法：O(1)中的范围更新查询

对于一些涉及到区间乘法操作的问题，我们通常会采用线段树或者树状数组来解决。然而，在某些情况下，我们可以采用另外一种更为简单的方法来解决这类问题：数组乘法。

数组乘法指的是在一个数组中进行区间乘法操作，也就是将一个区间中的所有元素都乘上一个数。这种操作可以通过修改数组中的两个值来实现：一个是当前位置的值，另一个是当前位置的后缀乘积值。

算法实现

假设我们要对数组 $a$ 的区间 $[l,r]$ 进行乘法操作，那么我们可以先计算出区间 $[l+1,r]$ 的后缀乘积 $s_{r}$，然后将 $a_l$ 乘以要乘的数，并将这个数存储到数组 $a$ 中，同时将 $a_{l+1}$ 的后缀乘积 $s_{l+1}$ 更新为 $a_{l}s_r$。这样就完成了区间乘法操作。同理，若要对区间 $[l,r]$ 进行查询操作，只需计算出区间 $[l+1,r]$ 的后缀乘积 $s_r$，然后返回 $a_l\times s_r$ 即可。

下面是代码实现：

class ArrayMultiplication:
    def __init__(self, a: List[int]):
        n = len(a)
        self.a = a
        self.s = [1] * (n + 1) # 后缀乘积数组
        for i in range(n-1, -1, -1):
            self.s[i] = a[i] * self.s[i+1]

    def update(self, l: int, r: int, x: int):
        s_r = self.s[r+1]
        for i in range(l, r+1):
            self.a[i] *= x
            self.s[i] = self.a[i] * s_r

    def query(self, l: int, r: int) -> int:
        s_r = self.s[r+1]
        return self.a[l] * s_r

时间复杂度分析

• 更新操作：$O(r-l+1)$；
• 查询操作：$O(1)$。

因此，总的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为数组的长度。由于这种方法省去了线段树或树状数组的构建过程，所以一般来说算法效率会更高一些。

总结

数组乘法是一种在一般情况下效率较高的区间乘法操作算法，适用于一些不需要支持区间加法操作的场景。与线段树或树状数组相比，它的实现方法更为简单，且时间复杂度也更为直观。但它并不是万能的，对于一些特定的问题，还是需要采用其他算法进行求解。