门 | GATE-CS-2015（套装3）|第 46 题

本题旨在考察在图论中求最短路的算法以及基本的数据结构。具体问题描述如下：

给定一张有向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示顶点的集合，$E$ 表示边的集合。每条边 $e \in E$ 都带有一个非负权值 $w_e$，表示从 $e$ 的起点到终点的距离（可以看作是一种路径代价）。

定义一个点 $v \in V$ 的度（degree）为一条边的数量，即有多少条从 $v$ 出发的边。因此我们可以把 $v$ 的度记为 $deg(v)$。

现在要求使用至少 $\Omega(|V| \log |V|)$ 的时间复杂度来解决以下问题：

1. 判断这个图是否存在一个点作为起点，使得这个点的度数等于 $0$（即入度为 $0$）。

2. 如果这个图存在这样的点，则在这个图上运用 Dijkstra 算法（时间复杂度 $\Theta(|E| + |V| \log |V|)$）来寻找最长路径。

在解决这道问题时，我们首先需要注意几个性质：

1. 一个点的度数等于其所有出度之和。

2. 如果 $G$ 中存在一条从 $u$ 到 $v$ 的可达路径，则 $u$ 的度数就大于等于 $v$ 的度数。

因此，对于第一问，我们可以考虑循环遍历所有的点，找到度数为 $0$ 的点即可。时间复杂度为 $\Theta(|V|)$。

对于第二问，则可以利用上面的性质进行分析。我们可以先找到度数为 $0$ 的点，以其为起点来进行 Dijkstra 算法的运算。最后找到离其最远的点即为所求。由于在这个局部图中，节点数与边数的数量大致相等，所以时间复杂度同样为 $\Theta(|V| + |E| \log |V|)$。

但是，这样的做法显然远不够高效。事实上，我们可以考虑通过构造反图来优化，这也是这道题的精髓所在。

具体地，我们首先遍历所有点，找到度数为 $0$ 的点，假设其为 $s$。然后对于每个节点 $v$，构造两个新节点，分别记为 $v_{in}$ 和 $v_{out}$。对于节点 $v$ 的每条出边 $(v,u)$，我们就从 $v_{out}$ 向 $u_{in}$ 连接一条 $w(v,u)$ 的边；对于节点 $v$ 的每条入边 $(u,v)$，我们就从 $u_{out}$ 向 $v_{in}$ 连接一条 $w(u,v)$ 的边。最后，我们从 $s_{in}$ 开始用 Dijkstra 算法进行计算即可。

这个构造出来的图有一个神奇的性质：我们将度数为 $0$ 的点拆开，并利用构造的图将入度和出度分开，因此得到的新图一定不存在度数为 $0$ 的点。同时，由于对于所有反向边上的边权都为非负数，所以 Dijkstra 算法的正确性得到了保证。

下面是详细代码实现。

import heapq

def add_edge(u, v, w, graph):
    if u not in graph:
        graph[u] = []
    graph[u].append((v, w))

def find_zero_degree_node(graph):
    for node in graph:
        if len(graph[node]) == 0:
            return node
    return None

def dijkstra(graph, s):
    dist = {}
    for node in graph:
        dist[node] = float('inf')
    dist[s] = 0

    pq = []
    heapq.heappush(pq, (0, s))

    while len(pq) > 0:
        cur_dist, src = heapq.heappop(pq)
        if cur_dist > dist[src]:
            continue
        for des, des_dist in graph[src]:
            new_dist = cur_dist + des_dist
            if new_dist < dist[des]:
                dist[des] = new_dist
                heapq.heappush(pq, (new_dist, des))

    return dist

def find_longest_path(graph):
    s = find_zero_degree_node(graph)
    if s is None:
        return float('-inf')
    new_graph = {}
    for node in graph:
        new_graph[node + '_in'] = []
        new_graph[node + '_out'] = []
    for node in graph:
        for des, des_dist in graph[node]:
            add_edge(node + '_out', des + '_in', des_dist, new_graph)
            add_edge(des + '_out', node + '_in', des_dist, new_graph)
    dist = dijkstra(new_graph, s + '_in')
    res = float('-inf')
    for node in graph:
        res = max(res, dist[node + '_in'], dist[node + '_out'])
    return res

上面的 add_edge 函数是将一条带权边加入到图中，find_zero_degree_node 函数是用于判断度数是否为 $0$ 的，dijkstra 函数是常规的 Dijkstra 最短路算法代码。

主函数 find_longest_path 可以看到，它实际上首先找到了度数为 $0$ 的节点 $s$，然后进行了图的构造，最后使用 Dijkstra 算法求解出最长路径的长度。时间复杂度为 $\Theta(|V| \log |V| + |E| \log |V|)$，可以满足要求。

值得注意的是，构造的新图中，每个点的出度和入度都为原来的度数，因此节点个数会翻倍。但是，由于边的数量是 $\Theta(|E|)$ 的，因此我们得到的图依然是个稠密图，也就保证了我们的算法是可接受的。

总之，在面对这样的问题时，我们需要认真分析题意、性质以及限制条件，再寻找可能的解决方案。落实到这道题中，我们在初步情况下，如果直接暴力求解，则得到的时间复杂度会达到 $\Theta(|V|^2)$，甚至可能达到 $\Theta(|V|^3)$ 的级别。但是，通过巧妙的构造反图，我们可以将算法的时间复杂度优化到 $\Theta(|V| \log |V| + |E| \log |V|)$，从而得到了最优解。