题目介绍

本题目中，给定 $N$ 个点，要求计算由这些点形成的直角三角形的数量，其中直角三角形的底边或垂线平行于 X 或 Y 轴。

解题思路

直角三角形中，底边或垂线必须有一条与 X 轴平行，一条与 Y 轴平行，可以分成两类计算，即以 X 轴为底的直角三角形和以 Y 轴为底的直角三角形。

以 X 轴为底的直角三角形中，点 $p_i$ 的坐标为 $(x_i, y_i)$，则点 $p_j$ 的坐标为 $(x_j, y_j)$，满足 $x_i = x_j$ 且 $y_j > y_i$，这样才可以构成直角三角形。对于每个点，可以将满足条件的点按 $y$ 坐标排序后，使用双指针统计直角三角形的数量。

以 Y 轴为底的直角三角形同理，可以将满足条件的点按 $x$ 坐标排序，使用双指针统计直角三角形的数量。

最终将两种直角三角形的数量相加，即可得到所有满足条件的直角三角形的数量。

代码示例

以下是Python示例代码：

def count_right_angle_triangles(points):
    """
    计算由给定的 N 个点形成的直角三角形的数量，这些点的底边或垂线平行于 X 或 Y 轴

    Args:
        points: 由 N 个点组成的列表，每个点表示为 (x, y) 的形式

    Returns:
        直角三角形的数量
    """
    n = len(points)
    count = 0

    # 以 X 轴为底的直角三角形
    for i in range(n):
        ps = []
        for j in range(n):
            if i == j:
                continue
            if points[i][0] == points[j][0] and points[j][1] > points[i][1]:
                ps.append(points[j])
        ps.sort(key=lambda p: p[1])
        j = 0
        for i in range(len(ps)):
            while j < len(ps) and ps[j][1] <= ps[i][1]:
                j += 1
            count += j - (i + 1)

    # 以 Y 轴为底的直角三角形
    for i in range(n):
        ps = []
        for j in range(n):
            if i == j:
                continue
            if points[i][1] == points[j][1] and points[j][0] > points[i][0]:
                ps.append(points[j])
        ps.sort(key=lambda p: p[0])
        j = 0
        for i in range(len(ps)):
            while j < len(ps) and ps[j][0] <= ps[i][0]:
                j += 1
            count += j - (i + 1)

    return count

以上代码的时间复杂度为 $O(N^2 log N)$，空间复杂度为 $O(N)$。