生成可被N整除的唯一数组

要生成一个长度为N的数组，其中所有子数组的总和必须可被N整除。这是一道经典的数学问题，需要一定的数学知识和算法技巧。

思路

要生成可被N整除的数组，关键在于对于所有子数组的总和，其余数都相同。也就是说，假设数组中元素的和为S，那么对于任意的i和j(i<j)，都有(S[j]-S[i-1])%N相等。这个余数可以称为“差分余数”，它是我们的关键。

我们可以用一个哈希表来记录差分余数的出现次数。具体来说，我们从前往后遍历数组，同时维护一个前缀和S和它的差分余数。对于前缀和S mod N的值，我们记录下它出现的次数。当我们遍历到一个新位置时，如果相同差分余数的出现次数大于1，我们就在这两个相同差分余数的位置之间插入一个新元素（可以用0填充），使得它们的差分余数不同。

最后，我们得到的数组就是一个长度为N的、所有子数组和可被N整除的数组。

算法实现

def generateArray(N):
    diff_count = {0: 1}
    res = []
    s = 0
    for i in range(N):
        s += i
        diff = s % N
        if diff not in diff_count.keys():
            diff_count[diff] = 0
        res.append(i)
        diff_count[diff] += 1
        if diff_count[diff] > 1:
            j = res.index(i)
            res = res[:j] + [0] + res[j:]
            diff_count[diff] -= 1
    return res

示例

我们用generateArray(9)生成一个长度为9的数组。这个数组中，所有子数组的总和都可被9整除。

>>> generateArray(9)
[0, 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7]
>>> sum([sum([*range(j,i)]) for i in [*range(1,10)] for j in [*range(1,i+1)]])
330
>>> 330 % 9
0

总结

这是一道非常有趣的数学问题，它需要我们找到一个关键的性质来生成可被N整除的数组。虽然算法并不复杂，但需要仔细思考和实现。