求给定二叉树的特殊平衡节点的总和

问题描述

给定一个二叉树，我们称节点的值为该节点到所有叶子节点之间的路径长度之和。特殊平衡节点是指其左右子树高度之差不超过1的节点。请计算所有特殊平衡节点的值的总和。

解决方法

方法一：深度优先搜索

我们可以使用深度优先搜索遍历二叉树，同时计算每个节点的路径长度，并在搜索的过程中判断每个节点是否为特殊平衡节点。在每个特殊平衡节点处，记录其节点值，并累计到结果中。

代码如下：

class Solution:
    def __init__(self):
        self.ans = 0
    
    def dfs(self, root, depth):
        if not root:
            return 0
        left = self.dfs(root.left, depth + 1)
        right = self.dfs(root.right, depth + 1)
        self.ans += abs(left - right)
        return root.val + left + right
    
    def balance_sum(self, root: TreeNode) -> int:
        self.dfs(root, 0)
        return self.ans

算法复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的节点数。在深度优先搜索的过程中，每个节点都会被访问一次，因此时间复杂度为 $O(n)$。
• 空间复杂度：$O(h)$，其中 $h$ 是二叉树的高度。递归时需要调用栈空间，栈的深度最大为 $h$，因此空间复杂度为 $O(h)$。

方法二：分治法

我们可以使用分治法求解。对于一个节点，如果其左右子树高度差小于等于1，则该节点的值为其左右子树的路径长度和，否则该节点不是特殊平衡节点。然后分治处理其左右子树，求解左右子树中所有特殊平衡节点的值的和，并将其加到当前节点的值中。

代码如下：

class Solution:
    def __init__(self):
        self.ans = 0
        
    def get_depth(self, root):
        if not root:
            return 0
        left = self.get_depth(root.left)
        right = self.get_depth(root.right)
        if left == -1 or right == -1 or abs(left - right) > 1:
            return -1
        return max(left, right) + 1
    
    def dfs(self, root):
        if not root:
            return
        if abs(self.get_depth(root.left) - self.get_depth(root.right)) > 1:
            return
        self.ans += root.val
        self.dfs(root.left)
        self.dfs(root.right)
    
    def balance_sum(self, root: TreeNode) -> int:
        self.dfs(root)
        return self.ans

算法复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n\log n)$，其中 $n$ 是二叉树的节点数。由于 get_depth 函数的时间复杂度为 $O(n)$，而 dfs 函数的时间复杂度为 $O(\log n)$，因此总时间复杂度为 $O(n\log n)$。
• 空间复杂度：$O(h)$，其中 $h$ 是二叉树的高度。递归时需要调用栈空间，栈的深度最大为 $h$，因此空间复杂度为 $O(h)$。

总结

本问题可以使用深度优先搜索和分治法求解。其中深度优先搜索的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为 $O(h)$；分治法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，空间复杂度为 $O(h)$。具体选用哪种算法需要根据实际情况和数据特征综合考虑。