从 (1, 1) 到 (X, Y) 垂直或水平方向具有最大数量 'a' 的路径

介绍

本题要求在矩阵中，从 (1, 1) 出发，到达 (X, Y) 的所有路径中，包含最多的字符 'a' 的路径。其中，路径必须垂直或水平方向移动，不能斜着走。

解法

1. 暴力枚举

一种直观的方法是枚举从 (1, 1) 到 (X, Y) 的所有路径，并在其中寻找包含最多 'a' 的路径。这里可以采用深度优先搜索、广度优先搜索等方法来实现路径的遍历。时间复杂度为 O(4^(X+Y))，不适用于较大的矩阵。

2. 动态规划

动态规划是一种常用的优化方法，能够大幅度降低时间复杂度。对于本题, 我们考虑设 dp(i, j, k) 表示从 (1, 1) 到 (i, j) 且路径中包含 k 个 'a' 的最大路径数。根据题目要求，我们只能往右或往下移动，因此可以得到状态转移方程：

$$ dp(i, j, k) = max(dp(i-1, j, k - is_a(i, j)) + dp(i, j-1, k - is_a(i, j))) $$

其中，is_a(i, j) 表示矩阵中 (i, j) 处是否是字符 'a'。同时，dp(1, 1, 0) = 1，dp(1, 1, 1) = is_a(1, 1)。

根据状态转移方程，可以采用二维数组或滚动数组等方式进行实现。时间复杂度为 O(X * Y * K)，其中 K 表示 'a' 的数量。

代码

1. 暴力枚举

# TODO: 暴力枚举

2. 动态规划

def max_a_paths(x: int, y: int, matrix: List[List[str]]) -> int:
    dp = [[0] * (y+1) for _ in range(x+1)]
    dp[1][1] = int(matrix[0][0] == 'a')
    for i in range(2, x+1):
        dp[i][1] = dp[i-1][1] + int(matrix[i-1][0] == 'a')
    for j in range(2, y+1):
        dp[1][j] = dp[1][j-1] + int(matrix[0][j-1] == 'a')
    for i in range(2, x+1):
        for j in range(2, y+1):
            cur_a = int(matrix[i-1][j-1] == 'a')
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + cur_a
    return dp[x][y]

注：以上代码为 Python 实现，其中 matrix 为一个二维数组，表示矩阵。 dp(i, j, k) 对应上述代码中的 dp[i][j]。