查找最长斐波那契子序列的长度

简介

此问题是寻找一个数列中最长的斐波那契子序列的长度。斐波那契数列是一个数列，其中每一项是前两项的和，最开始的两项是0和1。因此，这个数列是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89等等。斐波那契子序列是指在原数列中选出的元素，这些元素形成一个斐波那契数列。

例如，对于数列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，最长的斐波那契子序列是[1, 2, 3, 5, 8]，其长度为5。

解决方案

我们可以使用动态规划的思想解决这个问题。假设dp[i][j]表示以第i个元素和第j个元素为结尾的最长斐波那契子序列长度。

那么，如果第i个元素和第j个元素的和不在原数列中出现，则dp[i][j]=2（因为只有两个元素）。否则，我们可以找到原数列中第k个元素和第i个元素组成的斐波那契子序列。在这个子序列中，第i个元素是倒数第二个，第k个元素是倒数第一个。因此，我们可以将该子序列的长度加1，得到dp[i][j]的值。

因此，我们需要遍历所有i<j的数对，对于每一对数对(i, j)，计算dp[i][j]。整个过程需要O(n^2)的时间复杂度，因为有n(n-1)/2个数对。

最后返回dp数组中的最大值即为所求。

代码示例

def findLength(A: List[int]) -> int:
    n = len(A)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            dp[i][j] = 2              # 初始化为2
            target = A[i] + A[j]
            l, r = j+1, n-1
            while l <= r:
                mid = l + (r-l) // 2
                if A[mid] == target:
                    dp[i][j] = dp[j][mid] + 1
                    break
                elif A[mid] < target:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid - 1
            ans = max(ans, dp[i][j])

    return ans

注意：上述代码只适用于元素都是正整数的情况。如果原数列存在等于0或者负数的元素，需要对递推方程进行调整。