找到最长斐波那契子序列的长度

斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列，即：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

现在我们要找到一个数组中的最长斐波那契子序列的长度。假设我们有一个数组 arr，它的长度为 n，我们需要编写一个函数 find_longest_fibonacci_subsequence(arr: List[int]) -> int 来实现这个功能。

思路

为了找到最长斐波那契子序列的长度，我们可以使用动态规划的思想。具体来说，我们用 dp[i][j] 表示以 arr[i] 和 arr[j] 结尾的最长斐波那契子序列的长度。

显然，当 i = 0 或 j = 1 时，dp[i][j] 的值为 2。接下来，我们遍历数组中所有的元素对 (i, j)，并计算出 dp[i][j] 的值。

具体计算方法如下：

• 如果 arr[j]-arr[i] > arr[i]，那么 arr[j] 不可能是前两个数之和，此时 dp[i][j] 的值为 2。
• 否则，我们需要在前面的元素中查找是否存在与 arr[i] 和 arr[j] 相加等于 arr[j] 的数，设其下标为 k。如果找到了这样的 k，那么 dp[i][j] 的值为 dp[k][i] + 1。否则，dp[i][j] 的值仍为 2。

最终答案即为所有 dp[i][j] 中的最大值。

代码实现

from typing import List

def find_longest_fibonacci_subsequence(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    dp = [[2] * n for _ in range(n)]

    index = {x:i for i, x in enumerate(arr)}
    ans = 0

    for j in range(n):
        for i in range(j):
            k = index.get(arr[j] - arr[i], -1)
            if k >= 0 and k < i:
                dp[i][j] = dp[k][i] + 1
            ans = max(ans, dp[i][j])

    return ans if ans > 2 else 0

算法分析

时间复杂度：$O(n^2)$。需要遍历数组中的每个元素对。

空间复杂度：$O(n^2)$。需要用 $dp$ 数组来记录状态。