给定总和 K 的最长公共子序列的长度

介绍

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是指在两个或多个序列中都出现的最长子序列，不要求所出现的字符在原序列中的位置是相连的。

给定两个序列A和B，求它们的LCS。如果将A和B的长度分别记为n和m，那么最朴素的解法的时间复杂度为O(2^(n+m))，因为我们需要考虑所有可能的子序列组合。

但是，在LCS问题中存在更有效的解法：动态规划。该方法的时间复杂度为O(nm)，比朴素解法要快得多。接下来，我们主要关注的是给定总和K的最长公共子序列的长度问题。

给定两个序列A和B以及一个正整数K，求它们的LCS的长度，使得LCS中所有字符的总和不超过K。

解法

我们可以使用动态规划的思想来解决这个问题。我们用dp[i][j][s]表示A的前i个字符和B的前j个字符的LCS中，字符总和不超过s的最大长度。其中，1<=i<=|A|，1<=j<=|B|，0<=s<=K。

我们可以根据A和B的最后一个字符，分成两种情况讨论：

• 如果A的最后一个字符和B的最后一个字符相等，那么我们就可以将这个字符加入LCS中，并将A和B的最后一个字符同时删去。此时，我们需要求解dp[i-1][j-1][s-A[i-1]]的值，并将其加上1。

• 如果A的最后一个字符和B的最后一个字符不相等，那么此时的状态可以由dp[i-1][j][s]和dp[i][j-1][s]两个状态转移而来。即，分别尝试不加入A的最后一个字符和不加入B的最后一个字符，取其中较大的一个即可。

最终的答案就是dp[|A|][|B|][K]，即A和B的LCS中，字符总和不超过K的最大长度。

代码

def LCS_with_limit(A, B, K):
    m, n = len(A), len(B)
    dp = [[[0] * (K+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            for s in range(K+1):
                if A[i-1] == B[j-1]:
                    if s >= A[i-1]:
                        dp[i][j][s] = dp[i-1][j-1][s-A[i-1]] + 1
                else:
                    dp[i][j][s] = max(dp[i-1][j][s], dp[i][j-1][s])
                    if s >= A[i-1]:
                        dp[i][j][s] = max(dp[i][j][s], dp[i-1][j-1][s-A[i-1]] + 1)
    return dp[m][n][K]

以上是解决给定总和K的最长公共子序列的长度问题的详细介绍和Python代码实现。