通过翻转给定二进制字符串中的最多K个位来最大化分配的权重之和

介绍

本题的目标是对于一个给定的二进制字符串，通过翻转其中的最多K个位来最大化分配的权重之和。

具体来说，设给定的二进制字符串为s，它具有长度n，每个位置上的字符为0或1。设给定的整数K满足0 <= K <= n。令w[i]为字符s[i]的权重，即当s[i]='1'时w[i]的值为1，当s[i]='0'时w[i]的值为0。如果将s的某个位置i翻转，即将s[i]从'0'变成'1'或从'1'变成'0'，则称这个位置被翻转了。对于一个二进制字符串s和整数K，如果在s中最多翻转K个位置，那么翻转后的字符串s'的权重之和为sum(w[i])。

本题的任务就是找到一个方案，使得翻转后的字符串s'的权重之和sum(w[i])最大。

解题思路

对于一个固定的位置i，要么翻转它要么不翻转它，那么枚举所有的翻转方案需要指数级别的时间，显然不行。所以我们需要寻找更加高效的算法。

通过一些分析，我们可以得到如下结论：

• 当K=0时，最大的权重和就是原来的字符串的权重和，不需要翻转任何一个位置。
• 当K>=1时，最优解一定存在于某个位置i被翻转后的字符串中。

这个结论可以通过反证法证明：假设最优解不是某个位置i被翻转后的字符串，而是通过翻转了多个位置得到的字符串s'，那么我们可以找到一个位置i，原来它的值为'0'，在翻转后成为'1'，并且没有被翻转过，则s'和s的权重之差为w[i]，因为在s'中翻转i会增加w[i]的值，而在s中不需要翻转i就能达到最优解。因此可以通过这种方法得到原始字符串的最优解。

在了解了上面的结论后，具体的算法为：

1. 计算原始字符串的权重和sum(w[i])，作为最小权重和min_w。
2. 从左到右遍历字符串，维护一个当前区间[l,r]和它的权重和cur_w，初始时l=0，r=-1，cur_w=0。
3. 如果cur_w < min_w，则将r向右移动，并更新cur_w为新区间的权重和。
4. 如果cur_w >= min_w，则将l向右移动，并更新cur_w为新区间的权重和。
5. 在步骤3和4中，如果r-l+1 <= K，则不断地将r向右移动以尽可能多地包含字符'1'。
6. 重复步骤3-5直到字符串结束。

最终的答案即为sum(w[i])加上操作后新增的权重之和，其中操作包括了将某些位置上的'0'翻转成'1'，其中翻转的位置总数不超过K个。可以证明，这种算法得到的是正确的最优解。

代码示例

以下是Python实现的示例代码：

def max_weight(s: str, K: int) -> int:
    # 计算原始字符串的最小权重和
    min_w = sum(1 for c in s if c == '1')

    # 初始化当前区间和和区间左端点
    cur_w, l = 0, 0
    ans = 0

    # 按照算法流程不断更新区间和以及左右端点
    for r, c in enumerate(s):
        if c == '1':
            cur_w += 1
        while cur_w < min_w and r - l + 1 > K:
            if s[l] == '1':
                cur_w -= 1
            l += 1
        while r - l + 1 <= K and r + 1 < len(s) and s[r + 1] == '1':
            r += 1
            cur_w += 1
        ans = max(ans, cur_w)
    return ans + min_w

其中，s是输入的二进制字符串，K是最多翻转的位置数，返回值是最大的权重和。