通过翻转给定二进制字符串中最多 K 位来最大化分配权重的总和

题目概述

给出一个长度为n的二进制字符串s和一个整数k，你可以将s中最多k个0翻转成1。翻转操作的定义是将0变成1，1变成0。

现在，请你计算在执行上述操作后（可以不执行）的最大权重和，其中权重指为第i位为1的数字Ai（0≤A≤104），权重总和即为A1+A2+...+An。

解题思路

这道题可以采用贪心算法来求解。具体来说，我们可以定义一个数组prefix表示原始字符串s的前缀和，其中prefixi表示前i位中1的个数。接着，我们可以枚举变换的位置，并计算变换之后的权值。

假设当前枚举到了第i位，当我们将第i位从0变为1时，对应的权值增加的大小为Ai×(prefixn−prefixi)。这是因为第i位变成1后之后的每一个1都会对于A产生一次倍增。

同理，当我们将第i位从1变成0时，对应的权值增加的大小为Ai×prefixi。

为了找到最终的答案，我们需要枚举变换位置和变换次数。由于总共最多只进行k次变换，因此，时间复杂度为O(kn)。

代码实现

def max_weight(s: str, a: List[int], k: int) -> int:
    n = len(s)
    prefix = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        prefix[i] = prefix[i-1] + (s[i-1] == "1")
    
    ans = sum(a) * prefix[n]

    for i in range(n):
        for j in range(1, k+1):
            if s[i] == "0":
                ans = max(ans, ans - a[i]*prefix[n-j]-a[i]*(prefix[i]-prefix[n-j]) + a[i]*(prefix[n]-prefix[i]))
            else:
                ans = max(ans, ans + a[i]*prefix[n-j]-a[i]*prefix[i] - a[i]*(prefix[n]-prefix[i]))
    return ans

此函数的参数为s，a和k。其中，s为输入的字符串，a为字符串中每个1对应的权值的一个列表，k为最大的变换次数。

结论

通过翻转给定二进制字符串中最多K位来最大化分配权重的总和是一个贪心算法。具体来说，我们可以枚举变换的位置，并计算变换之后的权值。我们需要枚举变换位置和变换次数，时间复杂度为O(kn)。

其他应用场景

这种类型问题常常会被用在动态规划中，因为需要枚举状态，而且每个状态可以被转移的情况也比较多。同时，可以利用前缀数组来快速计算每个状态的价值。