受限玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machine，RBM）

受限玻尔兹曼机是一种基于概率的生成型人工神经网络模型，常用于无监督特征学习和协同过滤等任务。由于其独特的网络结构和学习算法，在深度学习领域中得到了广泛应用。

基本原理

RBM 由可见层和隐藏层组成，属于无向图模型。可见层和隐藏层均为二元变量，可以理解为输入的图像和特征。整个模型的结构如下所示：

其中，$v$ 代表可见层，$h$ 代表隐藏层。$W$ 为可见层和隐藏层之间的权重矩阵，$b$ 和 $c$ 分别为可见层和隐藏层的偏置向量。

模型的学习目标是求解出模型的参数，即权重矩阵和偏置向量。学习算法采用了马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法中的 Gibbs 抽样算法，通过不断地更新可见层和隐藏层的值，从而使得模型的似然函数最大化。

具体的更新过程如下所示：

第 $i$ 次 Gibbs 抽样：

1. 从 $p(h|v^{(i)})$ 中抽取样本 $h^{(i)}$
2. 从 $p(v|h^{(i)})$ 中抽取样本 $v^{(i+1)}$
3. 重复步骤 1，抽取样本 $h^{(i+1)}$

其中，$p(h|v)$ 和 $p(v|h)$ 分别为给定可见层和隐藏层的条件下，相应层的概率分布函数，可以表示为：

$$ p(h_j = 1 | v) = \sigma \left(\sum_{i=1}^n w_{ij} v_i + c_j \right) $$

$$ p(v_i = 1 | h) = \sigma \left(\sum_{j=1}^m w_{ij} h_j + b_i \right) $$

其中，$\sigma$ 为 sigmoid 函数，$n$ 和 $m$ 分别为可见层和隐藏层的大小。

对于一个给定的样本 $v$，通过多次 Gibbs 抽样和对参数的更新，可以最大化模型对数据的似然函数：

$$ \log p(v) = \sum_{i=1}^n b_i v_i + \sum_{j=1}^m \log(1+e^{\sum_{i=1}^n w_{ij}v_i+c_j}) $$

应用场景

RBM 可以应用于许多不同的任务，其中包括：

1. 特征学习：RBM 可以通过学习数据的特征，在无监督的情况下对输入数据进行分类或预处理。其应用包括图像、音频、视频等各种类型的数据。
2. 数据生成：RBM 能够生成一些数据的样本，包括图像、音频、视频等。
3. 协同过滤：RBM 可以被用于推荐系统中，通过学习用户和商品之间的相似关系，从而预测用户可能喜欢的商品。

Python 实现

在 Python 中，我们可以使用 PyTorch 来实现 RBM 模型。下面是一个简单的示例代码：

import torch
import torch.nn.functional as F

class RBM(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n_visible, n_hidden):
        super(RBM, self).__init__()
        self.W = torch.nn.Parameter(torch.randn(n_hidden, n_visible))
        self.b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(n_hidden))
        self.c = torch.nn.Parameter(torch.zeros(n_visible))

    def sample(self, p):
        return F.relu(torch.sign(p - torch.rand(p.size())))

    def forward(self, v):
        h = self.sample(torch.sigmoid(F.linear(v, self.W, self.b)))
        v = self.sample(torch.sigmoid(F.linear(h, self.W.t(), self.c)))
        return v, h

以上就是一个简单的 Python 实现例子，其中包括了 RBM 模型的基本原理，结构和更新算法。