什么是受限排列？
排列通常被称为将集合中的所有项目排列成某个特定序列或顺序的行为。如果集合已经有序，则其元素的相应重新排列称为置换过程。当某些有限集上发生不同的排序时，最常出现排列。
排列由以下公式表示，
n P r = (n!) / (nr)!
组合
组合是从一组项目中提取和选择项目的一种方式，在这种情况下选择顺序无关紧要。它相当于给定观察集的组合数的计数。基本上相当于一次取k个n个东西，不做任何重复的组合。为了表示允许重复的组合，经常使用术语 k-selection 或 k-combination with repeat。
组合由以下公式表示，
n C r = (n!)/r!(nr)!
受限排列
排列是过滤和选择一组对象的一种方式，其中对象的排列确实很重要。然而，可以通过对选择顺序施加某些限制来完成对象的排列。例如，文章的排列顺序，使得文章总是被包含或排除在给定对象的集合中。施加限制意味着并非给定集合中的所有对象都需要排序。可以对排列施加不同类型的常见限制：
- 包含一组对象
- 排除一组对象
- 某些总是一起出现的对象
- 某些分开的物体
常见的受限排列类型有：
一些受限排列的例子如下：
- 数字的形成与一些数字在固定位置的数字。
- 用一些固定位置的字母构建单词。
- 一组字母表中的元音或辅音一起出现。
- 一组总是一起出现的对象
- 一组从不一起出现的对象
- 循环排列的限制
- 从一套礼服中选择穿的衣服
- 吃饭的顺序
- 要制作的颜色组合
限制排列公式
- 一次取“r”的“n”个事物的排列数，对应于特定事物总是发生的情况
r × n-1Pr-1
- 一次取 r 的 n 个事物的排列数，对应于特定事物从未发生的情况
n-1Pr
示例问题
问题 1. 如果 4 永远存在于数字中，请找出用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个不重复的 4 位数字？
解决方案：
Here to find 4 digits number without any repetition can be made using 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 if 4 will always be there in the number,
We will use the formula for
Number of permutations of ‘n’ things taken ‘r’ at a time. In which a particular thing always occur
r × n-1Pr-1
Here,
r = 4
n = 7
Further putting values in the above formula
⇒ r × n-1Pr-1
⇒ 4 × 7-1P4-1
⇒ 4 × 6P3
⇒ 4 × 6!/3!
⇒ 4 × (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
⇒ 480
Therefore,
480 numbers can be made.
问题 2. 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 可以组成多少个 5 位数字。所以数字中总是有 2？
解决方案：
Here to find 5 digit numbers can be formed by 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. So that 2 is always there in the number,
We will use the formula for
Number of permutations of ‘n’ things taken ‘r’ at a time. In which a particular thing always occur
r × n-1Pr-1
Here,
r = 5
n = 10
Further putting values in the above formula
⇒ r × n-1Pr-1
⇒ 5 × 10-1P5-1
⇒ 5 × 9P4
⇒ 5 × 9!/4!
⇒ 5 × (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/4!
⇒ 15120
Therefore,
15120 numbers can be made.
问题 3. 如果不包括“a”，5 个元音可以组成多少个不同的三字母词？
解决方案：
Here to find different three-letter words can be made by 5 vowels if ‘a’ is never included,
We will use the formula for
Number of permutations of ‘n’ things taken ‘r’ at a time. In which a particular thing never occurred
n-1Pr
Here,
r = 3
n = 5
Further putting values in the above formula
⇒ n-1Pr
⇒ 5-1P3
⇒ 4P3
⇒ 4!/(4 – 3)!
⇒ 4 × 3 × 2
⇒ 24
Therefore,
24 words can be made.
问题 4. 如果永远不会包含 4，使用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个不重复的四位数字？
解决方案：
Here to find four-digit numbers without any repetition can be made by using 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 if 4 will never be included,
We will use the formula for
Number of permutations of ‘n’ things taken ‘r’ at a time. In which a particular thing never occurred
n-1Pr
Here,
r = 4
n = 7
Further putting values in the above formula
⇒ n-1Pr
⇒ 7-1P4
⇒ 6P4
⇒ 6!/(6 – 4)!
⇒ 6 × 5 × 4 × 3 × 2!/2!
⇒ 360
Therefore,
360 numbers can be made.