计算总和模 K 与子数组长度相同的子数组

介绍

本文将介绍如何实现计算总和模 K 与子数组长度相同的子数组的算法。这个问题可以转化为：给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，求出总和为 k 的倍数且长度为 k 的倍数的子数组的个数。

算法

为方便算法实现，首先要对原数组 nums 进行前缀和预处理。我们定义一个新数组 sums，其中 sums[i] 表示原数组 nums 中前 i 个元素的总和。那么我们可以通过 sums[j]-sums[i-1] 得到在区间 [i, j] 中的所有元素之和。

接下来对 sums 数组进行遍历，对于每个起始位置 i，我们枚举 i + 某个长度 d，计算以 i 为起始位置，长度为 d 的子数组的总和 sum。如果 sum%k 等于 0，则该子数组满足条件。

最后，我们累加满足条件的子数组的个数即可。

代码

以下是 Python3 代码实现：

def subarraysDivByK(nums, k):
    count = 0
    n = len(nums)
    sums = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1]
    for i in range(n):
        for d in range(k, n - i + 1, k):
            sum_d = sums[i + d] - sums[i]
            if sum_d % k == 0:
                count += 1
    return count

以上代码的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

结论

计算总和模 K 与子数组长度相同的子数组可以通过前缀和预处理和枚举子数组的长度进行计算。这个问题的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。