计算图形穿过 X 轴的次数

图形穿过 X 轴的次数是几何学中一个常见的问题，也是在编程中处理图形相关算法的常见需求。下面介绍两种常见的解法。

解法一：数学原理确定次数

如果图形是一个连续的曲线，则可以通过求解其极值来确定图形穿过 X 轴的次数。假设函数 f(x) 描述该曲线，则可以通过求解 f(x) 的导函数 f'(x) 的零点来确定极值点。这些极值点的数量减去图形的一阶导数的极值点的数量就是该曲线与 X 轴相交的次数。

实现代码如下：

def x_intercepts(f, range_start, range_end, step=0.01):
    """
    计算函数f(x)在区间 [range_start, range_end] 上与x轴的交点数量
    :param f: 函数f(x)
    :param range_start: 区间左端点
    :param range_end: 区间右端点
    :param step: 步长，默认0.01
    :return: 交点数量
    """
    x_values = [range_start]
    x = range_start
    while x < range_end:
        x += step
        x_values.append(x)
    
    y_values = list(map(f, x_values))
    derivative_values = [(y_values[i] - y_values[i-1]) / step for i in range(1, len(y_values))]
    extrema_count = len([i for i in range(1, len(derivative_values)-1) if derivative_values[i] * derivative_values[i+1] < 0])
    intercept_count = extrema_count - len([i for i in range(len(y_values)-1) if y_values[i]*y_values[i+1] < 0])
    
    return intercept_count

解法二：图形切割法

如果图形不是一个连续的曲线，而是由多个线段、直线和曲线组成的图形，则可以通过将图形切割成多个子图形的方式，逐个计算每个子图形与 X 轴相交的次数，然后将结果累加起来，就可以得到整个图形与 X 轴相交的次数。

实现代码如下：

from collections import deque

class Point:
    """
    点类，包含x坐标和y坐标
    """
    
    def __init__(self, x=None, y=None):
        self.x = x
        self.y = y

class Line:
    """
    直线类，包含起点和终点
    """
    
    def __init__(self, start, end):
        self.start = start
        self.end = end

class Polygon:
    """
    多边形类，包含一系列点坐标和线段
    """
    
    def __init__(self, points):
        self.points = points
        self.edges = deque()
        self._create_edges()
        
    def _create_edges(self):
        for i in range(len(self.points)):
            edge = Line(self.points[i], self.points[i-1])
            self.edges.append(edge)
            
    def intersects_x(self, x):
        count = 0
        for edge in self.edges:
            if edge.start.x >= x and edge.end.x >= x:
                continue
            elif edge.start.x < x and edge.end.x < x:
                continue
            elif edge.start.y == edge.end.y:
                continue
            elif edge.start.x == edge.end.x:
                if edge.start.x >= x:
                    count += 1
            else:
                m = (edge.end.y - edge.start.y) / (edge.end.x - edge.start.x)
                b = edge.start.y - (m * edge.start.x)
                y = m * x + b
                if y >= 0:
                    count += 1
        return count

以上就是计算图形穿过 X 轴的次数的两种常见解法的介绍。如果您有其他方法欢迎补充。