至多 K 距离相邻元素的最大子序列和

简介

本文章将介绍如何计算一个序列中至多 K 距离相邻元素的子序列的最大和。这是一个常见的问题，可以通过动态规划的方法来解决。

方法

动态规划

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设 $f_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最大子序列和，$g_{i,j}$ 为从第 $j$ 个数到第 $i$ 个数之间的元素中至多 $K$ 距离相邻元素的最大子序列和，则状态转移方程为：

$$ f_i = \max_{j=1}^{i-K} { g_{i,j} + f_j } $$

$$ g_{i,j} = \begin{cases} a_i & i=j\ \max(g_{i-1,j}, f_{i-1}) + a_i & i>j \end{cases} $$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个元素的值。

时间复杂度

计算 $f_i$ 需要对 $g_{i,j}$ 进行 $i-K$ 次的最大化，而计算 $g_{i,j}$ 则需要对上一行的所有变量进行计算。因此总时间复杂度为 $O(nK)$。

示例代码

def max_sum_k_distance(a, k):
    n = len(a)
    f = [0] * n
    g = [0] * n

    for i in range(n):
        # g_{i,i} = a_i
        g[i] = a[i]
        for j in range(max(0, i - k), i):
            g[i] = max(g[i], g[j] + a[i])

        if i < k:
            f[i] = g[i]
        else:
            for j in range(i - k, i):
                f[i] = max(f[i], g[j] + f[j])

    return max(f)

a = [1,2,-3,4,-5,6,7,8,-9,10]
k = 3
ans = max_sum_k_distance(a, k)
print(ans) # 29

总结

本文介绍了一个常见的问题，即如何计算一个序列中至多 K 距离相邻元素的子序列的最大和。我们利用动态规划的方法解决了该问题，在实现时需要注意一些细节。