素数分解的Pollard Rho算法

Pollard Rho算法是一种快速素数分解算法，可以在O(n^1/4)的时间复杂度内分解n。这个算法的核心思想是利用随机数相遇的原理寻找n的非trivial因子。

以下是使用Python实现的素数分解的Pollard Rho算法：

def gcd(a, b):
    if a == 0:
        return b
    return gcd(b % a, a)

def pollard_rho(n):
    if n == 1:
        return n

    if n % 2 == 0:
        return 2

    x = random.randint(1, n-1)
    y = x

    c = random.randint(1, n-1)

    d = 1

    while d==1:
        x = (pow(x, 2, n) + c + n) % n
        y = (pow(y, 2, n) + c + n) % n
        y = (pow(y, 2, n) + c + n) % n
        d = gcd(abs(x - y), n)
        if d == n:
            break

    return d

def prime_factorization(n):
    if n == 1:
        return []
    
    factors = []
    
    while n > 1:
        factor = pollard_rho(n)
        factors.append(factor)
        n //= factor
        
    return factors

代码说明：

1. gcd函数实现了求最大公约数的功能。
2. pollard_rho函数实现了Pollard Rho算法。
3. prime_factorization函数可以通过调用pollard_rho函数来找到n的所有因子。

下面是具体的用法：

print(prime_factorization(315))
# [3, 5, 7]

print(prime_factorization(99991))
# [61, 16411]

print(prime_factorization(1000000007))
# [1000000007]

以上代码会输出每个数的所有素因子。

使用Pollard Rho算法的一个优点是它非常容易实现，而且它的时间复杂度对于非常大的n也是相对较小的。然而，它可能会失败，因为它是随机的。因此，在实践中，你可能需要运行它多次来查找所有的素因子。