算法 | 图最短路径 | 问题14

简介

图最短路径是指在一个有向或无向的加权图中，找到从某一起始点到另一目标点路径权值最小的路径。这个问题由于其广泛应用性质而备受关注，尤其在计算机网络、GPS寻路、物流配送等领域。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。具体而言，Dijkstra算法从一个起点开始，先选择一条离起点最近的边，然后对与该边相邻的节点进行松弛，即更新相邻节点的距离和前驱节点。接着从还没有松弛的节点中，选择距离最近的节点重复上述步骤，直到所有节点都被松弛过为止。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数。当图非常稠密时，Dijkstra算法效率较低。

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法是一种求解单源最短路径问题的算法，可以处理存在负边权的图。Bellman-Ford算法的核心思想是通过若干次松弛操作，不断更新起点到各个节点的最短路径。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是图中的节点数，E是边数。

Floyd算法

Floyd算法是一种求解所有节点对最短路径问题的算法，可以处理存在负边权的图。Floyd算法采用动态规划的思想，通过中间节点转移的方式不断更新节点对之间的最短路径。

Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图中的节点数。当节点数量较大时，Floyd算法效率较低。

代码片段

下面是一个使用Dijkstra算法求解图最短路径的Python代码片段：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    distances = {node: float('inf') for node in graph}
    distances[start] = 0
    queue = [(0, start)]
    while queue:
        current_distance, current_node = heapq.heappop(queue)
        if current_distance > distances[current_node]:
            continue
        for neighbor, weight in graph[current_node].items():
            distance = current_distance + weight
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(queue, (distance, neighbor))
    return distances

代码中使用了优先队列来实现对节点的选择和松弛操作。首先将起点加入队列，然后不断从队列中选择离起点距离最近的节点，并对其进行松弛操作。当所有节点都被松弛过后，距离字典中存储了起点到所有节点的最短距离。