算法 | 图遍历 | 问题12

算法介绍

本算法主要解决的是在图中查找从一个节点到另一个节点的最短路径问题，即单源最短路径问题（Single Source Shortest Path，SSSP）。

常用的算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，其中Dijkstra算法适用于没有负权边的图，而Bellman-Ford算法可以处理有负权边的图。

在实际应用中，最常用的是Dijkstra算法。

图遍历介绍

图遍历是指从图中某个顶点出发遍历图中所有顶点的过程。常用的算法有深度优先搜索（Depth First Search，DFS）和广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）。

DFS采用栈来实现，从某个顶点开始，先访问一个相邻的未被访问的顶点，然后不断往下访问，直到某个顶点已经没有未被访问的相邻顶点时，就回溯到上一个顶点，继续访问其它未被访问的相邻顶点。这样保证了所有顶点都能被访问到。

BFS采用队列来实现，从某个顶点开始，先访问与之相邻的所有未被访问的顶点，然后继续访问这些顶点的相邻顶点，直到所有顶点都被访问到为止。

问题12介绍

问题12是指在一个无向图中，从一个节点出发，到另一个节点的一系列路径中，权值最大的那条路径的权值。

本问题可以通过DFS或BFS遍历图中所有路径，并记录每条路径的最大值。最后返回所有路径中最大值的最小值即可。

代码实现

以下是本算法使用Dijkstra算法实现的Python代码：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    # 记录已知最短路径的节点集合
    visited = set()
    # 记录所有节点的最短路径
    distances = {start: 0}
    # 优先队列，按节点距离排序
    pq = [(0, start)]

    while pq:
        # 取距离最小的节点
        (distance, node) = heapq.heappop(pq)
        # 如果已经访问过，则跳过
        if node in visited:
            continue
        # 将该节点标记为已知最短路径
        visited.add(node)

        # 遍历该节点的所有邻居节点
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            # 如果邻居节点已经访问过，则跳过
            if neighbor in visited:
                continue
            # 计算从起点到邻居节点的距离
            distance_to_neighbor = distance + weight
            # 如果该距离比之前记录的最短距离小，则更新
            if neighbor not in distances or distance_to_neighbor < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance_to_neighbor
                # 加入优先队列
                heapq.heappush(pq, (distance_to_neighbor, neighbor))

    return distances

def max_weight(graph, start, end):
    # 计算从起点到所有节点的最短距离
    distances = dijkstra(graph, start)
    # 用于记录最小的最大权值
    min_max_weight = float('inf')

    # 遍历所有从起点到终点的路径
    for path in dfs(graph, start, end):
        # 计算路径中最大的权值
        max_weight = max([graph[path[i - 1]][path[i]] for i in range(1, len(path))])
        # 更新最小的最大权值
        min_max_weight = min(min_max_weight, max_weight)

    return min_max_weight

def dfs(graph, start, end, path=None):
    if path is None:
        path = [start]
    if start == end:
        # 如果搜索到了终点，返回路径
        yield path
    else:
        # 遍历该节点的所有邻居节点
        for neighbor in graph[start].keys() - set(path):
            # 继续搜索
            yield from dfs(graph, neighbor, end, path + [neighbor])

总结

本算法使用Dijkstra算法计算出从起点到所有节点的最短距离，并通过DFS遍历图中所有从起点到终点的路径，取所有路径中最大权值的最小值作为最终结果。