用黄金比例推导斐波那契数的表达

介绍

斐波那契数列是指前两个数等于1，从第三个数开始每个数的值为前两个数之和的数列，常用的表达式为：$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。

黄金比例又称黄金分割，是一种重要的数字比例关系，记作$\phi$，其值约为1.6180339887。在艺术、建筑、金融、生物学等领域都有应用。黄金比例有一个十分神奇的性质：$\frac{1}{\phi}=\phi-1$。通过这个性质，我们可以推导出斐波那契数的表达式。

推导

首先，我们将斐波那契数列的第$n$项表示为$F_n$。接着，我们可以假设存在一个常数$k$，使得$F_n=k\phi^n$。将$n=1$和$n=2$代入上式，可以得到：

$$ F_1=k\phi^1=k, F_2=k\phi^2 $$

根据斐波那契数列的定义，$F_1=F_2=1$，所以有$k=\frac{1}{\phi-1}$。将$k$的值带入$F_n=k\phi^n$中，可以得到：

$$ F_n=\frac{1}{\phi-1}\phi^n-\frac{1}{1-\phi}\phi^{-n} $$

进一步化简上式，可以得到：

$$ F_n=\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}-\frac{(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} $$

实现

import math

def fib(n):
    phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
    return round(math.pow(phi, n) / math.sqrt(5)) 

# 测试
print([fib(i) for i in range(10)]) # 输出前10项斐波那契数列

总结

通过黄金比例的性质，我们可以得到斐波那契数的表达式，也可以用代码实现斐波那契数列的求值。斐波那契数列有很多应用，在算法、密码学等领域都有广泛的应用。而黄金比例也是一个非常有趣、奇妙的数字比例关系，我们还可以通过其它方法来深入探究。