查找两个缺失的数字|第2组(基于XOR的解决方案)

本文将介绍使用XOR操作来查找一个数组中缺失的两个数字的解决方案。

问题描述

给定一个包含 N 个整数的数组，其范围在 [1, N+2] 之间，其中有两个数字缺失。请写一个算法来查找这两个数字。

解决方案

我们可以通过对数组中所有数字进行异或运算来找到缺失数字。假设我们有一个包含 N 个数字的数组，其中有两个数字缺失，我们可以将所有数字进行异或运算，然后将其结果与 [1, N+2] 中所有数字进行异或运算，那么最后的结果就是缺失的两个数字的异或和。

为什么这样可以找到缺失的数字呢？我们可以将异或运算理解为“不进位加法”，我们希望找到的缺失数字相当于两个只出现一次的数字，它们的加法是没有进位的，而其它数字对应的进位都被抵消掉了。

我们可以从缺失数字的异或和中找到任意一位二进制位为 1 的位置，然后将数组中所有二进制表示中这一位为 1 的数和所有二进制表示中这一位为 0 的数分为两个子数组。对于这两个子数组分别进行异或运算，那么最后的结果就是缺失的两个数字。

代码实现

下面是基于XOR的解决方案的示例代码，其中包括查找缺失数字的函数 signature 和测试用例：

from typing import List

def findMissingNumbers(nums: List[int]) -> List[int]:
    # Step 1: 所有数字异或得到缺失数字的异或和
    xorSum = 0
    for num in nums:
        xorSum ^= num
    for i in range(1, len(nums) + 3):
        xorSum ^= i

    # Step 2: 找到缺失数字二进制表示中为 1 的位
    lowbit = xorSum & (-xorSum)

    # Step 3: 将数组分为两个子数组，分别进行异或运算
    missing1, missing2 = 0, 0
    for num in nums:
        if num & lowbit:
            missing1 ^= num
        else:
            missing2 ^= num
    for i in range(1, len(nums) + 3):
        if i & lowbit:
            missing1 ^= i
        else:
            missing2 ^= i

    return [missing1, missing2]

# 测试用例
assert findMissingNumbers([1,2,4,6]) == [3,5]
assert findMissingNumbers([1,3,4,7,8]) == [2,5]

总结

本文介绍了一种寻找缺失数字的方法，基于异或的操作可以找到缺失数字的异或和，然后通过二进制的位运算可以找到缺失的两个数字。这种方法的时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(1)。