n 位非减数的总数

介绍

在计算机科学中，非减数是指从左向右的每一位数字都不减小的整数。比如，123、555和999等都是非减数，而132、550和998等就不是。

本文将介绍如何计算 n 位非减数的总数。我们将从简单到复杂地介绍两种方法：暴力枚举和动态规划。

暴力枚举

暴力枚举是一种基本方法，它通常是以迭代的方式逐一检查所有可能的解。对于 n 位非减数，这意味着我们需要检查从 0 到 999...99（n 个 9）之间的所有数字，统计其中满足条件的数字个数。

暴力枚举的代码如下：

def countNonDecreasing(n):
    cnt = 0
    for i in range(10 ** n):
        digits = [int(x) for x in str(i)]
        if all(digits[j] <= digits[j+1] for j in range(len(digits)-1)):
            cnt += 1
    return cnt

这段代码的时间复杂度为 O(10^n)，在 n 较小的时候可以得到正确的结果，但是当 n 很大的时候，计算机将会消耗很长的时间，甚至可能会超时。

动态规划

动态规划是一种优化的方法，它通常用于解决计数问题。对于 n 位非减数的总数，我们可以通过以下递推式计算：

$$dp[i][j] = \sum_{k=0}^{j}dp[i-1][k]$$

其中，dp[i][j] 表示以 j 结尾的 i 位非减数的总数。根据递推式，我们可以从 i-1 位的 dp 数组递推得到 i 位的 dp 数组。

动态规划的代码如下：

def countNonDecreasing(n):
    dp = [[0] * 10 for _ in range(n+1)]
    for i in range(10):
        dp[1][i] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(10):
            for k in range(j+1):
                dp[i][j] += dp[i-1][k]
    return sum(dp[n])

这段代码的时间复杂度为 O(n*10^2)，相比于暴力枚举，时间复杂度有了很大的优化，可以在计算机上快速得到正确的结果。

总结

本文介绍了两种方法，暴力枚举和动态规划，来计算 n 位非减数的总数。虽然暴力枚举方法较为简单，但是在 n 很大的时候效率较低，而动态规划方法可以在计算机上较快地得到正确的结果。在实践中，我们应该根据具体情况选择合适的方法。