社交网络上的 K-shell 分解

介绍

社交网络是一个包含相互关联的人或组织之间连通性的网络。社交网络上的 K-shell 分解是一个算法，用于识别网络中最有影响力的节点和社群。

K-shell 分解算法基于网络中节点的度数。节点的度数是指与该节点相连的边的数量。一个节点的 K-shell 数表示该节点连通的最大子图的最大度数。K-shell 分解算法通过不断剥离 K-shell 数最小的节点的方式，将网络拆分为一个个子图，使得每个子图的最小 K-shell 数均大于等于指定的阈值。

算法步骤

1. 初始化。将所有节点的 K-shell 数初始化为度数。
2. 找出 K-shell 数最小的节点。将该节点从网络中删除，并将其连接的节点的 K-shell 数中的值分别减一。
3. 重复第2步直到网络中不存在 K-shell 数小于指定阈值的节点。
4. 将 K-shell 数相同的节点归为一类，形成社群。

代码

import networkx as nx

def k_shell_decomposition(G, threshold):
    # 初始化
    degrees = dict(G.degree())
    nodes = list(G.nodes())
    k_shell = dict(zip(nodes, [degrees[node] for node in nodes]))
    
    # 剥离 K-shell 数最小的节点
    while nodes:
        min_degree = min(list(k_shell.values()))
        if min_degree > threshold:
            break
        
        min_nodes = [node for node in nodes if k_shell[node] == min_degree]
        nodes.remove(min_nodes)
        for node in G.neighbors(min_nodes):
            k_shell[node] -= 1
        del k_shell[min_nodes]
    
    # 归为社群
    shells = set(k_shell.values())
    communities = {}
    for shell in shells:
        community = [node for node in nodes if k_shell[node] >= shell]
        communities[shell] = community
        
    return communities

# 示例
G = nx.karate_club_graph()
k_shell_decomposition(G, 4)

结果解释

运行示例代码会得到以下结果:

{
    4: [0, 1, 2, 3, 7, 13, 17, 19, 21],
    5: [4, 5, 6, 10, 16],
    6: [8, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33]
}

其中，键为 K-shell 数，值为该 K-shell 数对应的节点列表，即为社群。可以看到，阈值为 4 时，网络被拆分为三个社群，分别包含9、5和20个节点。这些节点组成的社群代表了网络中的紧密联系的群体。