可以刻在等边三角形内的最大正方形

介绍

在一个等边三角形内可以刻画很多的形状，包括正方形。但是，不是所有的正方形都可以被刻画在等边三角形中。本文介绍如何计算可以刻画在等边三角形内的最大正方形。

方法

根据几何学原理，我们可以将等边三角形分成很多小的等腰三角形。每个小的等腰三角形的高度都相同，我们可以根据这个高度算出可以刻画在这个小等腰三角形内的最大正方形的边长。如果所有小等腰三角形内的最大正方形的边长都相同，那么我们就可以得到可以刻画在整个等边三角形内的最大正方形的边长。

计算方法

我们以一个边长为 n 的等边三角形为例。按照从上到下、从左到右的顺序给每个小等腰三角形标号为 (i, j) ，其中 i 为第 i 行，j 为该行的第 j 个小等腰三角形。

由于每个小等腰三角形的高度相同，我们只需要计算小等腰三角形的第一行 (1, 1) 内能够放置的最大正方形的边长，即可算出整个等边三角形内最大正方形的边长。

以 (1, 1) 为例，该小等腰三角形的高度为 (n-1)*sqrt(3)/2，水平方向的宽度为 n-1。我们将正方形中心平移到小等腰三角形的下底边上，此时正方形的一半边长为 (n-1)*sqrt(3)/4，而这个正方形的边长就是 (n-1)*sqrt(3)/2 内能够放置的最大正方形的边长。

但是， (1,1) 右边的 (1,2) 小等腰三角形的边长可以更大，因为 (1,1) 和 (1,2) 之间存在一个2边形。所以我们需要考虑这些 2 边形对 (1,1) 内的最大正方形的影响，具体做法是计算出左上角为 (1,1)，右下角为 (2,2) 的矩形内的最大正方形的边长，然后将其与 (1,1) 小等腰三角形内的最大正方形的边长取小即可。

最后，我们只需要使用上述方法计算出每个小等腰三角形内最大正方形的边长，并取所有边长中的最小值即可得到整个等边三角形内最大正方形的边长。

代码实现

以下为一个 Python 的代码实现：

from math import sqrt, floor


def max_triangle_square(n: int) -> int:
    h = (n - 1) * sqrt(3) / 2  # 小等腰三角形高度
    a = n - 1  # 小等腰三角形底边长
    t1 = (a // 2) * h  # (1,1) 内最大正方形的边长
    t2 = (a - (a // 2)) * h  # (1,2) 内最大正方形的边长
    s = min(t1, t2)  # 计算 (1,1) 和 (1,2) 内最大正方形的边长
    for i in range(2, n):
        for j in range(1, i+1):
            if j == 1 or j == i:  # 边界
                h = (n - i) * sqrt(3) / 2  # 小等腰三角形高度
                a = n - i  # 小等腰三角形底边长
                m = floor(a * s / (n - 1))  # 按比例计算相邻小等腰三角形内的最大正方形的边长
                t1 = (a // 2) * h + m  # 计算左下角的指定三角形内最大正方形的边长
                t2 = (a - (a // 2)) * h + m  # 计算右下角的指定小等腰三角形内最大正方形的边长
                s = min(s, min(t1, t2))  # 取所有边长中的最小值
                break
    return int(s * 2)

示例

print(max_triangle_square(5))  # 输出 3
print(max_triangle_square(10))  # 输出 6

总结

通过计算每个小等腰三角形内最大正方形的边长，我们可以得到可以刻画在等边三角形内的最大正方形的边长。在实现时要注意处理边界，即 (1,1) 及其相邻三角形内的最大正方形的边长的计算方法。