题目：在给定的等边三角形内可以形成的等边三角形的最大数量

问题描述

给定一个边长为 $n$ 的等边三角形，您需要计算出在该三角形内可以形成的等边三角形的最大数量。

请设计一个函数，输入参数为 $n$，输出参数为最大数量，函数返回的结果应为 markdown 格式，包括题目、问题描述、输入样例、输出样例、时间复杂度和空间复杂度等内容。

样例

输入样例：

n = 5

输出样例：

在等边三角形内，最大的等边三角形数量为 20。

其中等边三角形的边长为 1 的有 25 个，
等边三角形的边长为 2 的有 12 个，
等边三角形的边长为 3 的有 3 个。

思路分析

可以用递推的方法来计算等边三角形的数量，具体步骤如下：

1. 初始化一个数组 $dp$，大小为 $n \times n$。

2. 将三角形上的所有顶点设为等边三角形。

3. 从边长为 $2$ 的等边三角形开始，递推计算所有边长小于等于 $n$ 的等边三角形的数量。

   递推公式：$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]$

4. 计算出所有等边三角形的数量，并返回结果。

时间复杂度

计算等边三角形数量需要遍历整个 $n \times n$ 的数组，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

空间复杂度为 $O(n^2)$，因为需要存储一个 $n \times n$ 的数组。

代码实现

def count_equilateral_triangels(n):
    # 初始化数组
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化所有顶点
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1

    # 递推计算等边三角形的数量
    for k in range(2, n+1):
        for i in range(n-k+1):
            j = i + k - 1
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]

    # 计算等边三角形的总数量
    total = sum(dp[i][j] for i in range(n) for j in range(n) if dp[i][j] > 0)

    # 计算不同大小等边三角形的数量
    small_triangles = sum(dp[i][j] for i in range(1, n) for j in range(1, n) if dp[i][j] == 1)
    medium_triangles = sum(dp[i][j] for i in range(1, n) for j in range(1, n) if dp[i][j] == 3)
    large_triangles = sum(dp[i][j] for i in range(1, n) for j in range(1, n) if dp[i][j] == 6)

    # 构造输出字符串
    output = """在等边三角形内，最大的等边三角形数量为 {}。

其中等边三角形的边长为 1 的有 {} 个，
等边三角形的边长为 2 的有 {} 个，
等边三角形的边长为 3 的有 {} 个。""".format(total, small_triangles, medium_triangles, large_triangles)

    return output