计算一个数组的计数对，该数组的数量除以小数的商不超过K

本篇教程将为大家介绍如何计算一个数组的计数对，该数组的数量除以小数的商不超过 K。

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 arr 和一个实数 K，求满足 arr[i] + arr[j] > K 的 (i, j) 数对个数。

解决办法

暴力法

最简单的解法是对于每一对 (i, j) 暴力检查，如果 arr[i] + arr[j] > K，就将计数器加一。

时间复杂度为 $O(N^2)$，不适用于大规模数据。

排序 + 双指针

由于计数的条件是 arr[i] + arr[j] > K，我们可以先将数组排序，然后使用双指针从两端向中间扫描，同时维护一个计数器。

具体实现可以参考下面的代码：

def count_pairs(arr, k):
    arr.sort()
    cnt = 0
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left < right:
        if arr[left] + arr[right] > k:
            cnt += right - left
            right -= 1
        else:
            left += 1
    return cnt

时间复杂度为 $O(N\log N)$。

二分查找

另一个解法是使用二分查找。对于每个 arr[i]，我们在数组中查找最小的满足 arr[j] > K - arr[i] 的下标 j，然后将计数器加上 j - i。

具体实现可以参考下面的代码：

import bisect

def count_pairs(arr, k):
    arr.sort()
    cnt = 0
    for i in range(len(arr)):
        j = bisect.bisect_left(arr, k - arr[i], i+1)
        cnt += j - i - 1
    return cnt

时间复杂度为 $O(N\log N)$。

总结

本篇教程介绍了如何计算一个数组的计数对，该数组的数量除以小数的商不超过 K。我们介绍了两种解法，一种是暴力法，时间复杂度为 $O(N^2)$，适用于小规模的数据；另一种是排序 + 双指针，时间复杂度为 $O(N\log N)$，适用于大规模的数据。我们还介绍了一种使用二分查找的解法，也可以达到 $O(N\log N)$ 的时间复杂度。