给定元素数量的(不同顺序的)矩阵计数

介绍

在计算机科学中，经常需要计算给定元素数量的不同顺序的矩阵的总数。这在算法设计、图形学、游戏开发等领域中都有广泛的应用。本文介绍一些用于计数不同顺序的矩阵的算法和技术。

算法

线性递推法

线性递推法是一种基于递推公式的计数方法。假设给定 $n$ 个元素构成的矩阵，我们可以定义一个序列 $A$：

$$A_i=\begin{cases}1 & i=1\k^{i-1} & i>1\end{cases}$$

其中 $k$ 为元素集合的大小。这个序列描述了在一个矩阵中，第 $i$ 个位置可能出现的元素数量。注意到第一行的元素数量必须是 $k$，因为它们不会被其他的行占用。接下来，我们可以定义一个递推公式：

$$F_n=k^{n^2-\frac{n(n+1)}{2}}\prod_{i=1}^{n-1}(k^{n-i}-1)^i$$

这个公式描述了 $n$ 行 $n$ 列的矩阵有多少种不同的元素顺序。具体证明可以参考文献 [1]。线性递推法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

动态规划法

动态规划法是一种基于状态转移的计数方法。假设给定 $n$ 个元素构成的矩阵，我们可以定义一个状态 $f_{i,j,c}$：

$$f_{i,j,c}=\sum_{p=0}^{k-1}[p\not = c]\cdot f_{i-1,j,p}$$

其中 $i$ 和 $j$ 表示当前正在计算的位置，$c$ 表示当前位置选择的元素。假设 $f_{i,j,p}$ 表示在 $(i,j)$ 位置选择了 $p$ 元素的方案数，则 $f_{i,j,c}$ 表示在 $(i,j)$ 位置选择了 $c$ 元素的方案数。

我们可以依次计算 $f_{i,j,c}$，直到计算出 $f_{n,n}$，即 $n$ 行 $n$ 列矩阵中不同元素顺序的总数。动态规划法的时间复杂度为 $O(n^3k)$，空间复杂度为 $O(n^2k)$。

实现

以下是线性递推法的 Python 3 代码实现：

def count_matrix(n: int, k: int) -> int:
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return k
    s = n * (n - 1) // 2
    F = k ** (n ** 2 - s)
    for i in range(1, n):
        F *= (k ** (n - i) - 1) ** i
    return F

该函数接受矩阵的行数和元素集合的大小作为参数，返回不同元素顺序的总数。

以下是动态规划法的 Python 3 代码实现：

def count_matrix(n: int, k: int) -> int:
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return k
    f = [[[0] * k for j in range(n)] for i in range(n)]
    for j in range(n):
        f[0][j][0] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(n):
            for c in range(k):
                for p in range(k):
                    if p != c:
                        f[i][j][c] += f[i-1][j][p]
                if j > 0:
                    f[i][j][c] += f[i][j-1][c]
    F = sum(f[n-1][n-1])
    return F

该函数接受矩阵的行数和元素集合的大小作为参数，返回不同元素顺序的总数。